Câu hỏi

Cho phương trình lo g 2 3 ( x ) − 4 lo g 3 ( x ) − 5 = m ( lo g 3 ( x ) + 1 ) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trịcủa m để phương trình có nghiệm thuộc [ 27 ; + ∞ )

Cho phương trình $lo g^{2}_{3} (x) - 4 lo g_{3} (x) - 5 = m (lo g_{3} (x) + 1)$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc $[27; + \infty)$

$0 \leq m < 1$
$0 < m \leq 2$
$0 \leq m \leq 1$
$0 < m < 2$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Vì x ∈ [ 27 ; + ∞ ) ⇒ lo g 3 ( x ) ≥ 3 Đặt t = lo g 3 ( x ) ⇒ t ≥ 3 ta có: t 2 − 4 t − 5 = m ( t + 1 ) ( t ≥ 3 ) ⇒ m ≥ 0 Khi đó ta có t 2 − 4 t − 5 = m ( t + 1 ) ⇔ ( t + 1 ) ( t − 5 ) = m ( t + 1 ) Vì t ≥ 3 ⇒ t + 1 ≥ 4 ⇒ Từ điều kiện ( t − 5 ) ( t + 1 ) ≥ 0 ⇒ t ≥ 5 Do đó ( t + 1 ) ( t − 5 ) = m ( t + 1 ) ⇔ ( t − 5 ) ( t + 1 ) = m 2 ( t + 1 ) 2 ⇔ t − 5 = m 2 ( t + 1 ) ⇔ ( m 2 − 1 ) t = − m 2 − 5 ⇔ t = m 2 − 1 − m 2 − 5 Yêu cầu bài toán ⇔ t = m 2 − 1 − m 2 − 5 ≥ 5 ⇔ m 2 − 1 − 6 m 2 ≥ 0 ⇔ − 1 < m < 1 Kết hợp với điều kiện m ≥ 0 ⇒ 0 ≤ m < 1

Vì $x \in$ $[27; + \infty)$ $\Rightarrow lo g_{3} (x) \geq 3$

Đặt $t = lo g_{3} (x) \Rightarrow t \geq 3$ ta có:

$t^{2} - 4 t - 5 = m (t + 1) (t \geq 3) \Rightarrow m \geq 0$

Khi đó ta có $t^{2} - 4 t - 5 = m (t + 1) \Leftrightarrow (t + 1) (t - 5) = m (t + 1)$

Vì $t \geq 3 \Rightarrow t + 1 \geq 4 \Rightarrow$ Từ điều kiện $(t - 5) (t + 1) \geq 0 \Rightarrow t \geq 5$

Do đó $(t + 1) (t - 5) = m (t + 1) \Leftrightarrow$ $(t - 5) (t + 1) = m^{2} (t + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow t - 5 = m^{2} (t + 1) \Leftrightarrow (m^{2} - 1) t = - m^{2} - 5 \Leftrightarrow t = \frac{- m ^{2} - 5}{m ^{2} - 1}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow t = \frac{- m ^{2} - 5}{m ^{2} - 1} \geq 5 \Leftrightarrow \frac{- 6 m ^{2}}{m ^{2} - 1} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$