Cho phương trình 2 7 x + 3 x . 9 x + ( 3 x 2 + 1 ) 3 x = ( m 3 − 1 ) x 3 + ( m − 1 ) x , m là tham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên ( 0 ; + ∞ ) là a + e ln b , với a,b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17 a + 3 b bằng

Giải thích

Phương trình đã cho tương đương ( 3 x ) 3 + 3 x . ( 3 x ) 2 + ( 3 x 2 + 1 ) 3 x = ( m 3 − 1 ) x 3 + ( m − 1 ) x ⇔ ( 3 x + x ) 3 + 3 x + x = ( m x ) 3 + m x ( ∗ ) Xét hàm số f ( u ) = u 3 + u , f ′ ( u ) = 3 u 2 + 1 > 0 , ∀ u ∈ R Phương trình (*) tương đương f ( 3 x + x ) = f ( m x ) Nên 3 x + x = m x ⇔ m = x 3 x ​ + 1 , x > 0 Xét hàm số g ( x ) = x 3 x ​ + 1 , x > 0 Ta có g ′ ( x ) = x 2 3 x ( x ln 3 − 1 ) ​ ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = lo g 3 ​ e Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ g ( lo g 3 ​ e ) = 1 + e ln 3 ⇒ { x = 1 b = 3 ​