Cho phương trình sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) + ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ − 2 cos 2 ( x ) + m − m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực?
Cho phương trình sin(2x)−cos(2x)+∣sin(x)+cos(x)∣−2cos2(x)+m−m=0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực?
9
2
3
5
EE
E. Elsa
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Chọn C
Ta có
sin 2 x − cos 2 x + ∣ sin x + cos x ∣ − 2 cos 2 x + m − m = 0
⇔ sin ( 2 x ) + 1 + ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ = 1 + cos ( 2 x ) + 2 cos 2 ( x ) + m + m
⇔ ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ 2 + ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ = 2 cos 2 x + m + 2 cos 2 ( x ) + m ( 1 )
Xét hàm f ( t ) = t 2 + t đồng biến trên [ 0 ; + ∞ )
Ta có phương trình (1) được viết lại f ( ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ ) = f ( 2 cos 2 ( x ) + m )
vì f ( t ) = t 2 + t đồng biến trên [ 0 ; + ∞ ) nên
(1) ⇔ ∣ sin ( x ) + cos ( x ) ∣ = 2 cos 2 ( x ) + m
⇔ sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) = m ( 2 )
Suy ra phương trinh đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi (2) có nghiệm thực. (2) có nghiệm thực khi và chỉ khi m ∈ [ − 2 ; 2 ]
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán m ∈ { − 1 ; 0 ; 1 }