Cho phương trình:
sin 3 x + 2 sin x + 3 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 + 2 cos 3 x + cos 2 x + m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x ∈ [ 0 ; 3 2 π ) ?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x∈[0;32π)?
4
3
2
1
EE
E. Elsa
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Chọn A
sin 2 x + 2 sin x + 3 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 + 2 cos 3 x + cos 2 x + m ⇔ sin 3 x + 2 sin x + 1 − cos 2 x + 2 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 + 2 cos 3 x + m ⇔ sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 + 2 cos 3 x + m
Đặt u = 2 cos 3 x + m − 2
⇒ u 2 = 2 cos 3 x + m − 2
Phương trình trở thành:
sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = ( u 2 + 2 ) u + u 2 + 2 sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = u 3 + u 2 + 2 u + 2 ( 1 )
Xét hàm đặc trưng: f ( t ) = t 3 + t 2 + 2 t + 2
f ′ ( t ) = 3 t 2 + 2 t + 2 > 0 , ∀ t ∈ R
⇒ f ( t ) là hàm đồng biến
Phương trình (1) ⇔ f ( sin x ) ⇔ f ( u ) ⇔ u = sin x
Với u = sin x ta có: 2 cos 3 x + m − 2 = sin x
⇔ 2 cos 3 x + m − 2 = sin 2 x ⇔ − m = 2 cos 3 x + cos 2 x − 1
Đặt X = cos x phương trình trở thành:
− m = 2 X 3 + X 2 − 1 ( 2 )
Với x ∈ [ 0 ; 2 3 π ) ⇒ X ∈ ( − 2 1 ; 1 ]
Ứng với mỗi X ∈ ( − 2 1 ; 1 ] thì có duy nhất một giá trị của X ∈ [ 0 ; 3 2 π )
do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm x ∈ [ 0 ; 3 2 π ) thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ∈ ( − 2 1 ; 1 ]
Xét hàm g ( X ) = 2 X 3 + X 2 − 1
g ′ ( X ) = 6 X 2 + 2 X
g ′ ( X ) = 0 ⇔ [ X = 0 X = − 3 1
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ∈ ( − 2 1 ; 1 ] khi và chỉ khi
[ m = − 3 − 27 80 < m ≤ 0
Mà m nguyên nên m ∈ { − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 } do vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán