Cho phương trình: sin 3 x + 2 sin x + 3 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 ​ + 2 cos 3 x + cos 2 x + m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x ∈ [ 0 ; 3 2 π ​ ) ?

Giải thích

Chọn A sin 2 x + 2 sin x + 3 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 ​ + 2 cos 3 x + cos 2 x + m ⇔ sin 3 x + 2 sin x + 1 − cos 2 x + 2 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 ​ + 2 cos 3 x + m ⇔ sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 ​ + 2 cos 3 x + m Đặt u = 2 cos 3 x + m − 2 ​ ⇒ u 2 = 2 cos 3 x + m − 2 Phương trình trở thành: sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = ( u 2 + 2 ) u + u 2 + 2 sin 3 x + 2 sin x + sin 2 x + 2 = u 3 + u 2 + 2 u + 2 ( 1 ) Xét hàm đặc trưng: f ( t ) = t 3 + t 2 + 2 t + 2 f ′ ( t ) = 3 t 2 + 2 t + 2 > 0 , ∀ t ∈ R ⇒ f ( t ) là hàm đồng biến Phương trình (1) ⇔ f ( sin x ) ⇔ f ( u ) ⇔ u = sin x Với u = sin x ta có: 2 cos 3 x + m − 2 ​ = sin x ⇔ 2 cos 3 x + m − 2 = sin 2 x ⇔ − m = 2 cos 3 x + cos 2 x − 1 Đặt X = cos x phương trình trở thành: − m = 2 X 3 + X 2 − 1 ( 2 ) Với x ∈ [ 0 ; 2 3 π ​ ) ⇒ X ∈ ( − 2 1 ​ ; 1 ] Ứng với mỗi X ∈ ( − 2 1 ​ ; 1 ] thì có duy nhất một giá trị của X ∈ [ 0 ; 3 2 π ​ ) do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm x ∈ [ 0 ; 3 2 π ​ ) thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ∈ ( − 2 1 ​ ; 1 ] Xét hàm g ( X ) = 2 X 3 + X 2 − 1 g ′ ( X ) = 6 X 2 + 2 X g ′ ( X ) = 0 ⇔ [ X = 0 X = − 3 1 ​ ​ Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ∈ ( − 2 1 ​ ; 1 ] khi và chỉ khi [ m = − 3 − 27 80 ​ < m ≤ 0 ​ Mà m nguyên nên m ∈ { − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 } do vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán