Câu hỏi

Cho phương trình: x 5 − 2 1 x 4 − 5 x 2 + x 2 + 4 x − 1 = 0 (1).Với là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng S = i = 1 ∑ 5 2 x i 5 − x i 4 − 2 x i + 1 .

Cho phương trình: $x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{2} + x^{2} + 4 x - 1 = 0$ (1). Với x subscript i left parenthesis I equals stack 1 comma 5 with bar on top right parenthesis là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng $S = i = 1 \sum 5 \frac{x _{i} + 1}{2 x _{i}^{5} - x _{i}^{4} - 2}$ .

R. Robo.Ctvx2

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Tổng S = i = 1 ∑ 5 2 x 1 5 − x 1 4 − 2 x i + 1 , x i là nghiệm của (1) Ta có x i là nghiệm của phương trình (1) nên: x i 5 − 2 1 x i 4 − 5 x i 3 + x i 2 + 4 x i − 1 = 0 ⇔ 2 x i 5 − x i 4 − 2 = 2 ( 5 x i 3 − x i 2 − 4 x i ) Do đó S = i = 1 ∑ 5 2 ( 5 x i 3 − x i 2 − 4 x i ) x i + 1 Xét biểu thức g ( x ) = 5 x 3 − x 2 − 4 x x + 1 = x ( x − 1 ) ( 5 x + 4 ) x + 1 Đồng nhất hai vế ta được: A = − 4 1 ; B = 9 2 ; C = 36 5 Nên x ( x − 1 ) ( 5 x + 4 ) x + 1 = − 4 x 1 + 9 ( x − 1 ) 2 + 36 ( 5 x + 4 ) 5 . Do đó S = − 8 1 i = 1 ∑ 5 x i 1 + 9 1 i = 1 ∑ 5 x i − 1 1 + 72 1 i = 1 ∑ 5 x i + 5 4 1 Mặt khác hàm f(x) được viết lại là: f ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) ( x − x 5 ) Đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) ( x − x 5 ) + + ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) ( x − x 5 ) + ... + ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) Với ta được f ( x ) f ′ ( x ) = i = 1 ∑ 5 ( x − x 1 1 ) và f ′ ( x ) − 5 x 4 − 2 x 3 − 15 x 2 + 2 x + 4 f ( 1 ) f ′ ( 1 ) = i = 1 ∑ 5 1 − x i 1 ⇒ i = 1 ∑ 5 x i − 1 1 = − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) = − 12 v f ( 0 ) f ′ ( 0 ) = i = 1 ∑ 5 x i 1 = − f ( 0 ) f ′ ( 0 ) = 4 f ( − 5 4 ) f ′ ( − 5 4 ) = i = 1 ∑ 5 x i + 5 4 1 = − f ( − 5 4 ) f ′ ( − 5 4 ) = 4789 12900 Vậy S = − 4789 8959 .

Tổng $S = i = 1 \sum 5 \frac{x _{i} + 1}{2 x _{1}^{5} - x _{1}^{4} - 2}, x_{i}$ là nghiệm của (1)

Ta có $x_{i}$ là nghiệm của phương trình (1) nên:

$x_{i}^{5} - \frac{1}{2} x_{i}^{4} - 5 x_{i}^{3} + x_{i}^{2} + 4 x_{i} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x_{i}^{5} - x_{i}^{4} - 2 = 2 (5 x_{i}^{3} - x_{i}^{2} - 4 x_{i})$

Do đó $S = i = 1 \sum 5 \frac{x _{i} + 1}{2 ( 5 x _{i}^{3} - x _{i}^{2} - 4 x _{i} )}$

Xét biểu thức $g (x) = \frac{x + 1}{5 x ^{3} - x ^{2} - 4 x} = \frac{x + 1}{x ( x - 1 ) ( 5 x + 4 )}$

Đồng nhất hai vế ta được: $A = - \frac{1}{4}; B = \frac{2}{9}; C = \frac{5}{36}$

Nên $\frac{x + 1}{x ( x - 1 ) ( 5 x + 4 )} = - \frac{1}{4 x} + \frac{2}{9 ( x - 1 )} + \frac{5}{36 ( 5 x + 4 )}$ .

Do đó $S = - \frac{1}{8} i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i}} + \frac{1}{9} i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i} - 1} + \frac{1}{72} i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i} + \frac{4}{5}}$

Mặt khác hàm f(x) được viết lại là:

$f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) (x - x_{5})$

Đạo hàm

$f^{'} (x) = (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) (x - x_{5}) + + (x - x_{1}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) (x - x_{5}) + ... + (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4})$

Với x not equal to x subscript i open parentheses i equals stack 1 comma 5 with bar on top close right parenthesis ta được $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} = i = 1 \sum 5 (\frac{1}{x - x _{1}})$

và

$f^{'} (x) - 5 x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 2 x + 4 \frac{f ^{'} ( 1 )}{f ( 1 )} = i = 1 \sum 5 \frac{1}{1 - x _{i}} \Rightarrow i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i} - 1} = - \frac{f ^{'} ( 1 )}{f ( 1 )} = - 12 v \frac{f ^{'} ( 0 )}{f ( 0 )} = i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i}} = - \frac{f ^{'} ( 0 )}{f ( 0 )} = 4 \frac{f ^{'} ( - \frac{4}{5} )}{f ( - \frac{4}{5} )} = i = 1 \sum 5 \frac{1}{x _{i} + \frac{4}{5}} = - \frac{f ^{'} ( - \frac{4}{5} )}{f ( - \frac{4}{5} )} = \frac{12900}{4789}$