Cho p,q>1 thỏa mãn p 1 ​ + q 1 ​ = 1 Chứng minh ab ≤ p a p ​ + q b q ​ ∀ a , b > 0

Giải thích

Xét hàm số y = x p − 1 liên tục và đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) và có tập giá trị là ( 0 ; + ∞ ) nên nó có hàm số ngược là x = y p − 1 1 ​ = y q − 1 trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) . Đường thẳng x=a và y=b cắt đồ thị hàm số y = x p − 1 tại các điểm M,N (xem hình vẽ) Gọi S 1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường { y = 0 ; x = a ; y = x p − 1 } S 2 làdiện tích tam giác cong tạo bởi các đường { y = 0 ; y = b ; y = x q − 1 } và S làdiện tích hình chữ nhậttạo bởi các đường { x = 0 ; x = a ; y = 0 ; y = b } Ta có S 1 ​ = ∫ 0 a ​ x p − 1 d x = p a p ​ ; S 2 ​ = ∫ ​ y q − 1 d y = q b q ​ ; S = ab Nhìn vào đồ thị thì ta có thể thấy rằng S 1 ​ + S 2 ​ ≥ S ⇔ p a p ​ + q b q ​ ≥ ab