Câu hỏi

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ của (O) (P,Q là các tiếp điểm). Qua P kẻ đường tahửng song song với AQ cắt (O) tại M. Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và (O) . Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K . Gọi G là giao điểm hai đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thằng AG theo R

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ của (O) (P,Q là các tiếp điểm). Qua P kẻ đường tahửng song song với AQ cắt (O) tại M. Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và (O) . Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K .

Gọi G là giao điểm hai đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thằng AG theo R

R. Roboctvx62

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có : K PQ = NO K (góc nội tiếp, góc tạo bởi tt và dây cùng chắn cung QN) ⇒ △ K QN ∼ △ K PQ ( g − g ) ⇒ K Q 2 = K P . K N Lại có: K A 2 = K N . K P ⇒ K A = K Q Gọi I là giao điểm của AO và PQ AO là trung trực của PQ nên I là trung điểm của PQ ∆APQ có hai đường trung tuyến AI và PK cắt nhau tại G ⇒ G là trọng tâm của ∆APQ ⇒ A G = 3 2 A I ∆APO vuông tại P có PI là đường cao nên: O P 2 = O I . O A ⇒ O I = O A O P 2 = 3 R ⇒ A I = O A − O I = 3 8 R ⇒ A G = 3 2 . 3 8 R = 9 16 R

Ta có : $K PQ = NO K$ (góc nội tiếp, góc tạo bởi tt và dây cùng chắn cung QN)

$\Rightarrow △ K QN \sim △ K PQ (g - g) \Rightarrow K Q^{2} = K P . K N$

Lại có: $K A^{2} = K N . K P \Rightarrow K A = K Q$

Gọi I là giao điểm của AO và PQ

AO là trung trực của PQ nên I là trung điểm của PQ

∆APQ có hai đường trung tuyến AI và PK cắt nhau tại G

$\Rightarrow$ G là trọng tâm của ∆APQ

$\Rightarrow A G = \frac{2}{3} A I$

∆APO vuông tại P có PI là đường cao nên: $O P^{2} = O I . O A$

$\Rightarrow O I = \frac{O P ^{2}}{O A} = \frac{R}{3} \Rightarrow A I = O A - O I = \frac{8 R}{3} \Rightarrow A G = \frac{2}{3} . \frac{8 R}{3} = \frac{16 R}{9}$

Câu hỏi tương tự

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường trọn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh các tứ giác BCEF, HDCE nội tiếp.

Xác nhận câu trả lời

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC). a) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp đ...

Xác nhận câu trả lời

Cho tứ giác MNP Q nội tiếp đường tròn đường kính MQ. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng MQ sao cho EF vuông góc với MQ. Đường thẳng P F cắt đường tròn đường kính M...

Xác nhận câu trả lời

Cho c á c s ố d ươ ng x , y , z th ỏ a m ã n x y + yz + z x = 3 x yz Ch ứ ng minh r ằ ng

Xác nhận câu trả lời

Qua điểm S năm bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến SA và SB của đường tròn. a.Chứng minh: Tứ giác SAOB nội tiếp. b.Vẽ cát tuyến SCD của đường tròn (O). Chứng minh: SA 2 = SC . SD c.Vẽ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện