Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm H sao cho AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d, cắt (O;R) tại hai điểm E và B (E nằm giữa H và B). 1. Chứng minh rằng góc ABE bằng góc EAH. 2. Trên dường thẳng d lấy điểm C sao cho H là trung điểm của đoạn AC. Đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh rằng tứ giác AHEK nội tiếp được đường tròn. 3. Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R .

Giải thích

1. Chứng minh: ABE = EAH ABE là góc nội tiếp chắn cung AE EAH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AH và dây cung AE. => ABE = EAH ( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 2. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp + BH vuông góc với AC tại H => BHC = 90 o + H là trung điểm của AC (gt) + EH AC tại H (BH AC tại H; E BH) => AEC cân tại E. => EAH = ECH( t/c tam giác cân) + ABE = EAH ( cm câu a) => ABE = ECH ( = EAH) => KBE = KCH => Tứ giác KBCH nội tiếp => BKC = BHC = 90 o => AKE = 90 o (1)( Kề bù với BKC = 90 o ) Mà EHA = 90 o (2) ( EH AC tại H) Từ (1) và (2) => AKE + EHA = 1800 => Tứ giác AHEK nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H trên đường thẳng (d) sao cho AB = R + Kẻ ON vuông góc với AB tại N => N là trung điểm của AB( Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) => AN = Ta có tam giác ONA vuông tại N theo cách dựng điểm N. => tag NOA = AN : AO = => NOA = 600 => OAN = ONA - NOA = 30 o + OAH = 90 o ( AH là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm A) => BAH = 60 o + chứng minh : BAC cân tại B có BAH = 60 o => tam giác ABC đều. => AH = AC/2 = AC/2 = => H là giao điểm của (A; ) và đường thẳng (d)