Câu hỏi

Cho đường cong y = x 3 + p x 2 + q x + r . A,B,C là ba điểm nằm trên đường cong và thẳng hàng. Tiếp tuyến với đường cong tại A, B,C cắt lại đường cong tại. Chứng minh rằngA',B',C' cũng thẳng hàng

Cho đường cong $y = x^{3} + p x^{2} + q x + r$ . A,B,C là ba điểm nằm trên đường cong và thẳng hàng. Tiếp tuyến với đường cong tại A, B,C cắt lại đường cong tại. Chứng minh rằng A',B',C' cũng thẳng hàng

R. Roboctvx71

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bồ đề: Điều kiện cần và đủ để ba điểm M, N, P ở trên đường cong y = x 3 + p x 2 + q x + r thẳng hàng là x 1 + x 2 + x 3 = − p ở đây x 1 , x 2 , x 3 tương ứng là hoành độ các điểm M, N, P Chứng minh 1. Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Gọi αx + β là phương trình đường nối M, N, P. Như vậy x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình x 3 + p x 2 + q x + r = αx + β ⇔ x 3 + p x 2 + x ( q − α ) + r − β = 0 ( 1 ) Theo định lí Viet với (1) ta có x 1 + x 2 + x 3 = − p 2. Điều kiện đủ: Giả sử x 1 + x 2 + x 3 = − p . Gọi α ′ x + β ′ là phương trình đường thẳng đi qua M,N. Gọi P' là giao điểm thứ ba của y = α ′ x + β ′ với đường cong đã cho. Gọi x 3 ′ là hoành độ của P'. Thế thì x 1 , x 2 , x 3 ′ là nghiệm của phương trình Theo định lí Viet với (2) ta có x 1 + x 2 + x 3 ′ = − p Do x 1 + x 2 + x 3 = − P ⇒ x 3 = x 3 ′ ⇒ P ≡ P ′ . VậyM, N, P thẳng hàng. Bồ đề được chứng minh Chứng minh bài toán Gọi y = ax + b là tiếp tuyến vói đường cong y = x 3 + p x 2 + qx + r . Giả sử tiếp tuyến này cắt tại đường cong ấy tại A'. Gọi x 1 ′ là hành độ của A'. Phương trình x 3 + p x 2 + q x + r = a x + b có nghiệm kép x 1 và nghiệm đơn x 1 ′ Do x 3 + p x 2 + q x + r = a x + b ⇔ x 3 + p x 2 + x ( q − a ) + r − b = 0 nên theo định lí Viet ta có: x 1 + x 1 + x 1 ′ = − p ⇒ x 1 ′ = − p − 2 x 1 . Tương tự nếu gọi x 2 ′ , x 3 ′ tương ướng là các hoành độ của các điểm B ′ , C ′ ta có x 2 ′ = − p − 2 x 2 ; x 3 ′ = − p − 2 x 3 Vậy x 1 ′ + x 2 ′ + x 3 ′ = − 3 p − 2 ( x 1 + x 2 + x 3 ) ( 3 ) Do A, B,C thẳng hàng nên ta có x 1 + x 2 + x 3 = − p ( 4 ) Thay (4) vào (3) có x 1 ′ + x 2 ′ + x 3 ′ = − p ( 5 ) Từ (5) và lại theo bồ đề suy raA',B',C' thẳng hàng

Bồ đề: Điều kiện cần và đủ để ba điểm M, N, P ở trên đường cong $y = x^{3} + p x^{2} + q x + r$ thẳng hàng là $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$ ở đây $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ tương ứng là hoành độ các điểm M, N, P

Chứng minh

1. Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Gọi $αx + β$ là phương trình đường nối M, N, P. Như vậy $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình

$x^{3} + p x^{2} + q x + r = αx + β \Leftrightarrow x^{3} + p x^{2} + x (q - α) + r - β = 0 (1)$

Theo định lí Viet với (1) ta có $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$

2. Điều kiện đủ: Giả sử $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$ . Gọi $α^{'} x + β^{'}$ là phương trình đường thẳng đi qua M,N. Gọi P' là giao điểm thứ ba của $y = α^{'} x + β^{'}$ với đường cong đã cho. Gọi $x_{3}^{'}$ là hoành độ của P'. Thế thì $x_{1}, x_{2}, x_{3}^{'}$ là nghiệm của phương trình blank x cubed plus px squared plus qx plus straight r equals alpha to the power of apostrophe straight x plus beta to the power of straight apostrophe left right double arrow x cubed plus p x squared plus x open parentheses q minus alpha apostrophe close parentheses plus r minus beta to the power of straight apostrophe equals 0 space left parenthesis 2 right parenthesis

Theo định lí Viet với (2) ta có $x_{1} + x_{2} + x_{3}^{'} = - p$

Do $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - P \Rightarrow x_{3} = x_{3}^{'} \Rightarrow P \equiv P^{'} .$

Vậy M, N, P thẳng hàng. Bồ đề được chứng minh

Chứng minh bài toán

Gọi $y = ax + b$ là tiếp tuyến vói đường cong $y = x^{3} + p x^{2} + qx + r$ . Giả sử tiếp tuyến này cắt tại đường cong ấy tại A'. Gọi $x_{1}^{'}$ là hành độ của A'. Phương trình

$x^{3} + p x^{2} + q x + r = a x + b$ có nghiệm kép $x_{1}$ và nghiệm đơn $x_{1}^{'}$

Do $x^{3} + p x^{2} + q x + r = a x + b \Leftrightarrow x^{3} + p x^{2} + x (q - a) + r - b = 0$

nên theo định lí Viet ta có:

$x_{1} + x_{1} + x_{1}^{'} = - p \Rightarrow x_{1}^{'} = - p - 2 x_{1} .$

Tương tự nếu gọi $x_{2}^{'}, x_{3}^{'}$ tương ướng là các hoành độ của các điểm $B^{'}, C^{'}$ ta có $x_{2}^{'} = - p - 2 x_{2}; x_{3}^{'} = - p - 2 x_{3}$