Câu hỏi

Cho một mảnh vườn hình chữ nhật A BC D có chiều rộng là 2 m chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số k diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần đất còn lại?

Cho một mảnh vườn hình chữ nhật $A BC D$ có chiều rộng là $2 m$ chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số $k$ diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần đất còn lại?

$k = \frac{1}{2}$
$k = \frac{3}{3}$
$k = \frac{1}{3}$
$k = \frac{2 + 3 2}{7}$

D. Long

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử mảnh vườn được gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên. Khi đó phương trình hai parabol có đỉnh là trung điểm AB, CD lần lượt là y = 9 2 x 2 v a ˋ y = − 9 2 x 2 + 2. Xét phương trình 9 2 x 2 = − 9 2 x 2 + 2 ⇒ x = ± 2 3 2 . Miền diện tích giới hạn bởi các parabol (như hình vẽ) có diện tích là S = ∫ − 2 3 2 2 3 2 ∣ ∣ − 9 2 x 2 + 2 − 9 2 x 2 ∣ ∣ d x = ∫ − 2 3 2 2 3 2 ( 2 − 9 4 x 2 ) d x = 4 2 . Ta có S A BC D = 12 ⇔ k = 12 − 4 2 4 2 = 7 2 + 3 2 . Chọn đáp án D

Giả sử mảnh vườn được gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên. Khi
đó phương trình hai parabol có đỉnh là trung điểm AB, CD lần lượt là

$y = \frac{2}{9} x^{2} v \overset{a}{ˋ} y = - \frac{2}{9} x^{2} + 2.$ Xét phương trình

$\frac{2}{9} x^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + 2 \Rightarrow x = \pm \frac{3 2}{2} .$

Miền diện tích giới hạn bởi các parabol (như hình vẽ) có diện tích là

$S = \int_{- \frac{3 2}{2}}^{\frac{3 2}{2}} ∣ ∣ - \frac{2}{9} x^{2} + 2 - \frac{2}{9} x^{2} ∣ ∣ d x = \int_{- \frac{3 2}{2}}^{\frac{3 2}{2}} (2 - \frac{4}{9} x^{2}) d x = 42 .$