Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Biết A' cách đều ba đỉnh A, B,C và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (AB'C' ). Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' tính theo a bằng

Giải thích

Chọn B Có A' cách đều ba đỉnh A,B,C nên đỉnh chóp A'.ABC là hình chóp tam giác đều ⇒ A ′ H ⊥ ( A BC ) với H là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi O = A ′ B ∩ A B ′ , O ′ = A ′ C ∩ A C ′ . Khi đó ( A ′ BC ) ∩ ( A B ′ C ′ ) = O O ′ . Lại có trong ( A ′ BC ) , A ′ I ⊥ O O ′ tại J với I là trung điểm của BC. Trong (AB'C') có A I ⊥ O O ′ tại J ( có △ A A ′ B = △ A A ′ C ⇒ A O = A O ′ và J là trung điểm của OO ') ⇒ ( ( A ′ BC ) , ( A B ′ C ′ ) ) = ( A ′ I , A J ) = 9 0 0 , mà ta dễ dàng chứng minh được J là trung điểm A'I hay trong tam giác A'AI thì AJ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. ⇒ △ A ′ A I là tam giác cân tại A hay A A ′ = A I = a 3 ​ . Khi đó: h = A ′ H = A A ′2 − ( 3 2 ​ A I ) 2 ​ = ( a 3 ​ ) 2 − ( 3 2 ​ a 3 ​ ) 2 ​ = 3 a 15 ​ ​ Vậy V = S A BC ​ . A ′ H = ( 2 a ) 2 . 4 3 ​ ​ . 3 a 15 ​ ​ = a 3 15 ​ .