Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , A B = a 3 ​ , A C = a . Điểm A' cách đều ba điểm A,B,C, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng

Giải thích

Ta có BC = 2 a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt phẳng (ABC) . Do A' cách đều A,B,C nên hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó H là trung điểm của cạnh BC và △ A H C đều cạnh a Dựng hình bình hành HABK ⇒ K là hình chiếu vuông góc của B' xuống mặt phẳng (ABC) Do đó ( A B ′ , ( A BC ) ​ ) = ( A B ′ , A K ​ ) = A ′ A K = 6 0 ∘ Áp dụng định lý cosin trong △ AHK ta có: A K = A H 2 + H K 2 − 2. A H . HK . cos ( 15 0 ∘ ) ​ = a 2 + ( a 3 ​ ) 2 − 2. a . a 3 ​ . ( 2 − 3 ​ ​ ) ​ = a 7 ​ ⇒ A ′ H = B ′ K = A K . tan ( 6 0 ∘ ) = a 21 ​ Dựng hình bình hành ACBM ta có: BC // A M ⇒ d ( BC , A ′ A ) = d ( BC , ( A ′ A M ) ) = d ( H , ( A ′ A M ) ) Kẻ H E ⊥ A M , H N ⊥ A ′ E ⇒ d ( H , ( A ′ A M ) ) = H N Ta có H E = A H . sin ( 6 0 ∘ ) = a . 2 3 ​ ​ = 2 a 3 ​ ​ ⇒ H N 2 1 ​ = H E 2 1 ​ + A ′ H 2 1 ​ ⇒ H N = 29 a 609 ​ ​ = 29 ​ a 21 ​ ​ Vậy d ( A A ′ , BC ) = d ( H , ( A ′ A M ) ) = 29 ​ a 21 ​ ​