Cho lăng trụ A BC . A ′ B ′ C ′′ có đáy là tam giác vuông tạiA, A B = a , BC = 2 a .Mặt bênBCC′B′là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng(BCC′B′)và(ABB′A′)bằng α 1. Trong trường hợp tan α = 4 5 2 ​ ​ ,hãy tính theo α a. Thể tích khối lăng trụABC.A′B′C′ b .Khoảng cách giữa hai đường thẳngA′C′vàB′C. 2 .Gọi β là góc giữa hai mặt bên quaC′của lăng trụABC.A′B′C′, tìm hệ thức liên hệ giữa cot α và cot β

Giải thích

1a . - Dựng A H ⊥ BC ( H ∈ BC ) suy ra . Trong tam giác vuôngABCcó: A C = B C 2 − A B 2 ​ = a 3 ​ ; A H = BC A B ⋅ A C ​ = 2 a 3 ​ ​ . - Dựng , ta có -Suy ra góc giữa hai mặt phẳng(BCC′B′)và(ABB′A′)bằng góc giữa hai đường thẳngAIvàHIbằng A I H = α (dotam giácAHIvuông tạiHnênAIHlà góc nhọn) -Trong tam giác vuôngABHta có: B H = BC A B 2 ​ = 2 a ​ , ta lại có: 1b. - Ta có: V A BC . A ′ B ′ C ′ ​ = 2 3 ​ V A . BC B ′ C ′ ​ = 3 2 ​ . 3 1 ​ . BC . B B ′ . sin ∠ B ′ BC . A H = 5 6 a 3 2 ​ ​ - Dựng - Ta có: nên: - Dựng D J ⊥ A C ( J ∈ A C ) . Ta có DJ // AB - Dựng DK ⊥ J B ′ ( K ∈ J B ′ ) -Ta dễ dàng chứng minh được - Ta có: cos ∠ B ′ B D = cos ∠ I B H = B H B I ​ = 5 1 ​ - Mà: - Ta có: -Xét tam giácB′DJvuông tạiDcó: D K 2 1 ​ = B ′ D 2 1 ​ + D J 2 1 ​ = 96 a 2 25 ​ + 16 a 2 25 ​ = 96 a 2 175 ​ Vậy 2. - D ựng Ta có: -Ta có góc giữa hai mặt phẳng(BCC′B′)và(ACC′A′)bằng góc giữa hai đường thẳngAEvàHE( do tam giácAHEvuông tạiHnênHEAlà góc nhọn). -Xét tam giác vuôngAHE, ta có cot β = A H H E ​ - Ta có: B H = 2 a ​ , A H = 2 a 3 ​ ​ , I H = A H . cot α = 2 a 3 ​ ​ cot α -Do tam giácBHIvuông tạiInên: - Vì Vậy