Cho lăng trụ ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều cạnh A B = a , cạnh bên A ′ A = b . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C'). Tính tan α và thể tích khối chóp A'.BB'C'C

Giải thích

Gọi H là tâm của △ ABC và M là trung điểm của BC. Do A'.ABC là chóp tam giác đều nên A'H là đường cao của hình chóp A'.ABC đồng thời cũng là chiều cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Ta có { BC ⊥ A M BC ⊥ A ′ H ​ ⇒ BC ⊥ ( A ′ A M ) ⇒ BC ⊥ A ′ M ⇒ ( ( A BC ) , ( A ′ BC ) ) ​ = A ′ M A = α ⇒ { A H = 3 2 ​ A M = 3 2 ​ . 2 a 3 ​ ​ = 3 a 3 ​ ​ H M = 3 1 ​ A M = 6 a 3 ​ ​ ​ ⇒ A ′ H = A ′ A 2 − A H 2 ​ = 3 1 ​ 9 b 2 − 3 a 2 ​ △ A'HM vuông tại H nên tan α = H M A ′ H ​ = a 2 3 b 2 − a 2 ​ ​ S A BC ​ = 2 1 ​ BC . A M = 4 a 2 3 ​ ​ Thể tích khối chóp A'.ABC là V 1 ​ = 3 1 ​ S A BC ​ . A ′ H = 3 1 ​ . 4 a 2 3 ​ ​ . 3 1 ​ 9 b 2 − 3 a 2 ​ = 12 a 2 3 b 2 − a 2 ​ ​ Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V 2 ​ = S A BC ​ . A ′ H = 4 a 2 3 ​ ​ . 3 1 ​ 9 b 2 − 3 a 2 ​ = 4 a 2 3 b 2 − a 2 ​ ​ Vậy thể tích khối chóp A'.BB'C'C là V = V 2 ​ − V 1 ​ = 6 a 2 3 b 2 − a 2 ​ ​ ( đ v tt )