Cho lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABClà tam giác đều cạnh a.Hình chiếu của A'lên mặt phẳng (ABC)trùng với trung điểm BC.Tính khoảng cách dgiữa hai đường thẳng B'C'và AA'biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A')và (A'B'C')bằng 6 0 ∘

Giải thích

Gọi M, M'lần lượt là trung điểm của BC, B'C' Gọi N, Elần lượt là trung điểm của AB, BN Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A')và (A'B'C')bằng góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A')và (ABC) Vì CN ⊥ A B và ME // CN nên ME ⊥ A B ( 1 ) Mặt khác A ′ M ⊥ ( A BC ) ⇒ A ′ M ⊥ A B ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có CN = A M = 2 a 3 ​ ​ ; ME = 2 1 ​ CN = 4 a 3 ​ ​ . Trong tam giác vuông A'EMcó A ′ M = ME ⋅ tan 6 0 ∘ = 4 3 a ​ Có A ′ M ′ ⊥ B ′ C ′ ( 3 ) Từ (3) và (4) suy ra Trong mặt phẳng (AMM'A')từ M'kẻ M ′ K ⊥ A A ′ ⇒ M ′ K chính là đoạn vuông góc chung giữa AA'và B'C' Trong mặt phẳng (AMM'A')từ Mkẻ M I ⊥ A ′ ⇒ M I = M ′ K Trong tam giác A'MAvuông tại Mcó M I 2 1 ​ = A M 2 1 ​ + M A 2 1 ​ = 9 a 2 28 ​ ⇒ M = 14 3 a 7 ​ ​ Vậy d = 14 3 a 7 ​ ​