Câu hỏi

Cho m , n l à c á c s ố t ự nhi ê n th ỏ a m ã n 4 m 3 + m = 12 n 3 + n , ch ứ ng minh m − n l à l ậ p ph ươ ng c ủ a m ộ t s ố nguy ê n.

Cho $m, n$ là các số tự nhiên thỏa mãn $4 m^{3} + m = 12 n^{3} + n$ ,

chứng minh $m - n$ là lập phương của một số nguyên.

R. Roboctvx81

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta c ó Gi ả s ử l à m ộ t ướ c nguy ê n t ố chung c ủ a m − n , 4 m 2 + 4 mn + 4 n 2 + 1 th ì l à s ố l ẻ do 4 m 2 + 4 mn + 4 n 2 + 1 l ẻ . M à 8 n 3 ⋮ p n ê n suy ra n ⋮ p hay t ừ đó ta c ó m ⋮ p do m − n ⋮ p . M à 4 m 2 + 4 mn + 4 n 2 + 1 c ũ ng chia h ế t cho p n ê n 1 ⋮ p , đ i ề u n à y v ô l ý . V ậ y hay suy ra m − n l à l ậ p ph ươ ng c ủ a m ộ t s ố nguy ê n.

Ta có

4 m cubed plus m equals 12 n cubed plus n not stretchy left right double arrow left parenthesis m minus n right parenthesis open parentheses 4 m squared plus 4 m n plus 4 n squared plus 1 close parentheses equals 8 n cubed
Giả sử $p$ là một ước nguyên tố chung

của $m - n, 4 m^{2} + 4 mn + 4 n^{2} + 1$ thì

$p$ là số lẻ do $4 m^{2} + 4 mn + 4 n^{2} + 1$ lẻ.
Mà $8 n^{3} ⋮ p$ nên suy ra $n ⋮ p$ hay từ đó ta

có $m ⋮ p$ do $m - n ⋮ p$ .

Mà $4 m^{2} + 4 mn + 4 n^{2} + 1$ cũng chia hết

cho p nên $1 ⋮ p$ , điều này vô lý.
Vậy open parentheses m minus n comma 4 m squared plus 4 m n plus 4 n cubed plus 1 close parentheses equals 1 hay suy

ra $m - n$ là lập phương của một số nguyên.

Câu hỏi tương tự

Một đa giác có độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 4(cm),cạnhnhỏ nhất bằng 6(cm) và chu vi của đa giác bằng 126(cm). Tính độ dài cạnh lớn nhấtcủa đa giác.

Xác nhận câu trả lời

C ó b ố n ng ườ i đà n ô ng c ầ n đ i qua m ô t chi ế c c ầ u r ấ t nguy hi ể m trong đê m t ố i. Kh ô ng may l à ch ì c ó m ô t c â y đ u ố c, kh ô ng c ó đ u ố c th ì kh ô ng th ể qua c ầ u đượ c. C...

Xác nhận câu trả lời

Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h=18m. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng 4 3 độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng....

Xác nhận câu trả lời

Cho khai triển ( 1 + x + x 2 ) 2019 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..... + a 4038 x 4038 . Tính S = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 4038 .

Xác nhận câu trả lời

Cho dãy số xác định bởi: { u 1 = 2 u n + 1 = 4 u n + 3. 4 n , n ∈ N ∗ .Tìm số hạng tổng quát u n và tính giới hạn l im u n 2 n 2 + 3 n + 1

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG