Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên cùng hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 a) Tính diện tích mặt cầu ngoạitiếp hình chóp S.ABC b) Môt mp(P) BC và vuông góc với cạnh SA chia khối chóp đã cho thành 2 phần, tính thể tích 2 phần đó.

Giải thích

a) Kẻ đường cao SH của hình chóp, thì H là tâm của △ ABC. Do đó, SH là trục của đường ngoại tiếp △ ABC. Từ giả thiết suy ra S A H = 6 0 ∘ Gọi I là trung điểm của BC và J là trung điểm SA. Dựng mặt phẳng trung trực của SA tại J cắt SH tại O, điểm O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tứ giác AHOJ nội tiếp trong đường tròn, nên: SO . S H = S J . S A ⇒ SO = S H S J . S A ​ = 2 S H S A 2 ​ △ SHA là nửa tam giác đều nên S A = 2 A H = 3 2 a 3 ​ ​ v a ˋ S H = a Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC: R = 2 a ( 3 2 a 3 ​ ​ ) 2 ​ = 3 2 a ​ Vậy diện tíchmặt cầu ngoạitiếp hình chóp S.ABC: S m c ​ = 4 π R 2 = 4 π 9 4 a 2 ​ = 9 16 π a 2 ​ b) Gọi D là giao điểm SA với mp(P). (P) chia khối chóp S.ABC thành 2 khối tứ diện S.DBC và D.ABC. Ta có: { BC ⊥ A I BC ⊥ S H ​ ⇒ BC ⊥ m p ( S A I ) , S A ⊥ m p ( BC D ) ⇒ S A ⊥ D I Như vậy △ DAI là nửa tam giác đều ⇒ A D = 2 1 ​ A I = 4 a 3 ​ ​ Suy ra SD = SA - AD = 12 5 a 3 ​ ​ v a ˋ S A S D ​ = 8 5 ​ mà V S . A BC ​ = 3 1 ​ S A BC ​ . A H , t ro n g đ o ˊ S A BC ​ = 12 a 2 3 ​ ​ V ậ y V S . D BC ​ = 8 5 ​ . 12 a 3 3 ​ ​ = 96 5 3 ​ a 3 ​ . S u y r a V D . A BC ​ = 32 a 3 3 ​ ​