Cho hinh l ậ p ph ươ ng ABCD . A ' B ' C ' D ' c ạ nh l á a. X é t hai đ i ể m M ∈ AD ' . N∈DB sao cho AM=DN=k(0<k<a 2 ) v à P l à trung đ i ể m c ú a B ' C ' . a. T í nh cosin c ủ a g ó c gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AP v à BC C ' b. Tinh th ể t í ch kh ố i t ứ di ệ n APBC - . c. Ch ừ ng minh MN lu ô n song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng A + D ' CB khi k bi ể n thi ê n. d. T í nh k đề đ o ạ n th ằ ng MN ng ẳ n nh ấ t. e. Khi đ o ạ n MN ng ắ n nh ấ t, ch ứ ng minh r ằ ng MN l à đườ ng vu ô ng g ó c chung c ủ a AD ' v à DB v à MN song song v ớ i A ' C .

Giải thích

Ta ch ọ n h ệ tr ụ c t ọ a độ c ó gôc l à đỉ nh A , tr ụ c Ox ch ứ a AB , tr ụ c Oy ch ứ a AD v à tr ụ c Oz ch ứ a AA ⊤AA' . Ta c ó : A ( 0 ; 0 ; 0 ) ; A ′ ( 0 ; 0 ; a ) ; B ( a ; 0 ; 0 ) B ′ ( a ; 0 ; a ) ; D ( 0 ; a ; 0 ) , D ′ ( 0 ; a ; a ) ; C ( a ; a ; 0 ) ; C ′ ( a ; a ; a ) . G ọ i α l ả g ó c gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AP v à BC ' ta c ó : b,Ta có Vậy c. M ặ t ph ẳ ng (A'D'CB) song song v ớ i tr ụ c Oy n ê n c ó ph ươ ng tr ì nh: . V ì m ặ t ph ẳ ng n à y di qua A ' ,B,C n ề n ta x á c đị nh đượ c p=q v à n=-pa , Cho p=1 ta đượ c ph ươ ng tr ì nh m ặ t ph ẳ ng A ' D ' CB l à x+z-a=0 ⇒ vecto ph á p tuy ể n c ủ a m ạ̃ t ph ẳ ng n à y l à : n =(1;0;1) R õ r à ng N∉mp A ' D ' CB .Suy ra MN song song v ớ i mp A ' D ' CB . d. Theo gi ả thiêt M∈ AD ' ;N∈DB;AM=DN=k MN 2 nh ỏ nhâtt b ẳ ng 3 a 2 ​ khi k = 3 a 2 ​ ​ V ậ y MN nh ỏ nhât băng 3 ​ a ​ khi k = 3 a 2 ​ ​ e. Khi MN ngăn nhât thi . Ta l ạ i c ó ⇒MN l à đườ ng vuông g ó c chung c ủ a AD ' v à DB . M ặ t kh á c , ch ứ ng t ỏ c ù ng ph ư ong.