Câu hỏi

Cho hai số thực z 1 , z 2 thỏa mãn ∣ z 1 + 5 ∣ = 5 và ∣ z 2 + 1 − 3 i ∣ = ∣ z 2 − 3 − 6 i ∣ .Tìm giá trị nhỏ nhất của ∣ z 1 − z 2 ∣

Cho hai số thực $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $∣ z_{1} + 5 ∣ = 5$ và $∣ z_{2} + 1 - 3 i ∣ = ∣ z_{2} - 3 - 6 i ∣$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của $∣ z_{1} - z_{2} ∣$

$\frac{5}{2}$
$\frac{5}{4}$
$10$
$310$

R. Robo.Ctvx14

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử z 1 = x 1 + y 1 i có điểm biểu diễn là M ( x 1 , y 1 ) và z 2 = x 2 + y 2 i có điểm biểu diễn là N ( x 2 , y 2 ) Từ giả thiết ta có ∣ z 1 + 5 ∣ = 5 ⇔ ∣ ( x 1 + 5 ) + y 1 i ∣ = 5 ⇔ ( x 1 + 5 ) 2 + y 1 2 = 25 Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn (C): ( x + 5 ) 2 + y 2 = 25 Và ∣ z 2 + 1 − 3 i ∣ = ∣ z 2 − 3 − 6 i ∣ ⇔ ∣ ( x 2 + 1 ) + ( y 2 − 3 ) i ∣ = ∣ ( x 2 − 3 ) + ( y 2 − 6 ) i ∣ ( x 2 + 1 ) 2 + ( y 2 − 3 ) 2 = ( x 2 − 3 ) 2 + ( y 2 − 6 ) 2 ⇔ 8 x 2 + 6 y 2 − 35 = 0 Suy ra tập hợp các điểm N là đường thẳng d: 8x + 6y - 35 = 0 Ta thấy đường thẳng d không cắt đường tròn (C) và ∣ z 1 − z 2 ∣ = MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm (I, M, N) ta có MN ≥ ∣ I N − I M ∣ = ∣ I N − R ∣ ≥ ∣ I N 0 − R ∣ v ớ i N 0 là hình chiếu của I trên d Khi đó MN ≥ ∣ d ( I ; d ) − R ∣ ∣ ∣ 8 2 + 6 2 8. ( − 5 ) + 6.0 − 35 − 35 ∣ ∣ = 2 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi N ≡ N 0 v a ˋ M ≡ M 0 v ớ i M 0 là giao điểm của đoạn thẳng I N 0 với đường tròn (C).

Giả sử $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ có điểm biểu diễn là $M (x_{1}, y_{1})$ và $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ có điểm biểu diễn là $N (x_{2}, y_{2})$

Từ giả thiết ta có $∣ z_{1} + 5 ∣ = 5 \Leftrightarrow ∣ (x_{1} + 5) + y_{1} i ∣ = 5 \Leftrightarrow (x_{1} + 5)^{2} + y_{1}^{2} = 25$

Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn (C): $(x + 5)^{2} + y^{2} = 25$

Và

$∣ z_{2} + 1 - 3 i ∣ = ∣ z_{2} - 3 - 6 i ∣ \Leftrightarrow ∣ (x_{2} + 1) + (y_{2} - 3) i ∣ = ∣ (x_{2} - 3) + (y_{2} - 6) i ∣ (x_{2} + 1)^{2} + (y_{2} - 3)^{2} = (x_{2} - 3)^{2} + (y_{2} - 6)^{2} \Leftrightarrow 8 x_{2} + 6 y_{2} - 35 = 0$

Suy ra tập hợp các điểm N là đường thẳng d: 8x + 6y - 35 = 0

Ta thấy đường thẳng d không cắt đường tròn (C) và $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ = MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm (I, M, N) ta có

$MN \geq ∣ I N - I M ∣ = ∣ I N - R ∣ \geq ∣ I N_{0} - R ∣ v ớ i N_{0}$ là hình chiếu của I trên d

Khi đó $MN \geq ∣ d (I; d) - R ∣ ∣ ∣ \frac{8. ( - 5 ) + 6.0 - 35}{8 ^{2} + 6 ^{2}} - 35 ∣ ∣ = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $N \equiv N_{0} v \overset{a}{ˋ} M \equiv M_{0} v ớ i M_{0}$ là giao điểm của đoạn thẳng $I N_{0}$ với đường tròn (C).

Câu hỏi tương tự

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1), B(1;1;3). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB, tính độ dài đoạn thẳng OI.

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A B (1;0;1 , B(1;−2;1).Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)

Xác nhận câu trả lời

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số nào đưới đây đối xứng với đồ thị hàm số y = 5 x qua đường thẳng y=x ?

Xác nhận câu trả lời

Viết phương trình tổng quát của tiếp diện của mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y − 2 z − 10 = 0 song song với mặt phẳng (P):2x-3y+6z-7=0.

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z − 17 = 0 . Biết mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 25 theo một đư...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG