Câu hỏi

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b = 4ab Chứng minh rằng: 4 b 2 + 1 a + 4 a 2 + 1 b ≥ 2 1

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b ^{2} + 1} + \frac{b}{4 a ^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

R. Robo.Ctvx5

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Từ a + b = 4ab Áp dụng BĐT (AM-GM) ta có ab ≥ 4 1 Ta có 4 b 2 + 1 a + 4 a 2 + 1 b = 4 a b 2 + a a 2 + 4 a 2 b + b b 2 ≥ 4 ab ( a + b ) + ( a + b ) ( a + b ) 2 = 4 ab + 1 a + b = 4 ab + 1 4 ab = 1 − 4 ab + 1 1 ≥ 2 1 Bất đẳng thức xảy ra khi a = b = 2 1

Từ a + b = 4ab

Áp dụng BĐT (AM-GM) ta có $ab \geq \frac{1}{4}$

Ta có

$\frac{a}{4 b ^{2} + 1} + \frac{b}{4 a ^{2} + 1} = \frac{a ^{2}}{4 a b ^{2} + a} + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2} b + b} \geq \frac{( a + b ) ^{2}}{4 ab ( a + b ) + ( a + b )}$

$= \frac{a + b}{4 ab + 1} = \frac{4 ab}{4 ab + 1} = 1 - \frac{1}{4 ab + 1} \geq \frac{1}{2}$

Bất đẳng thức xảy ra khi $a = b = \frac{1}{2}$

Câu hỏi tương tự

Tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện củabất phương trình sau : x 2 − 1 x ≥ x 2 + 2 x − 3 1 .

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 3 ( ab + b c + a c ) + ab c ( a + b + c ) 3

Xác nhận câu trả lời

Với các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1 ≤ x ≤ y ≤ 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất P = 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 ( x − y − x y ) + 7

Xác nhận câu trả lời

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng x 1 + y 4 ≥ 9

Xác nhận câu trả lời

Xác định a để hai phương trình sau tương đương 2 cos x cos 2 x = 1 + cos 2 x + cos 3 x ( 1 ) 4 cos 2 x − cos 3 x = a cos x + ( 4 − a ) ( 1 + cos 2 x ) ( 2 )

Xác nhận câu trả lời

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b = 4ab Chứng minh rằng: 4 b 2 + 1 a ​ + 4 a 2 + 1 b ​ ≥ 2 1 ​

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b = 4ab Chứng minh rằng: 4 b 2 + 1 a + 4 a 2 + 1 b ≥ 2 1