Câu hỏi

Cho hai số thực a, b thỏa mãn 4 1 < b < a < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = lo g a ( b − 4 1 ) − lo g b a b

Cho hai số thực a, b thỏa mãn $\frac{1}{4} < b < a < 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = lo g_{a} (b - \frac{1}{4}) - lo g_{\frac{a}{b}} b$

$P = \frac{7}{2}$
$P = \frac{3}{2}$
$P = \frac{9}{2}$
$P = \frac{1}{2}$

R. Robo.Ctvx42

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: ( b − 2 1 ) 2 ≥ 0 ⇔ b 2 − b + 4 1 ≥ 0 ⇒ 0 < b − 4 1 ≤ b 2 , ∀ b ∈ ( 4 1 ; 1 ) (đánh giá để đưa lo g a ( b − 4 1 ) v e ^ ˋ lo g a b 2 ) Mà 4 1 < a < 1 nên lo g a ( b − 4 1 ) ≥ lo g a b 2 Do đó P ≥ lo g a b 2 − lo g b a b = 2 lo g a b − 2 1 lo g b a b = lo g b a 2 − 2 1 . lo g b b a 1 = lo g b a 2 − 2 ( lo g b a − 1 ) 1 Đặt lo g b a = t . Do b < a < 1 nên lo g b b > lo g b a > lo g b 1 ⇒ 0 < t < 1 Suy ra P ≥ P ( t ) = t 2 − 2 ( t − 1 ) 1 với 0 < t < 1 Xét P ( t ) = t 2 − 2 ( t − 1 ) 1 trên (0;1) ta có P ′ ( t ) = 2 t 2 ( t − 1 ) 2 − 3 t 2 + 8 t − 4 ⇔ [ t = 3 2 ∈ ( 0 ; 1 ) t = 2  ∈ ( 0 ; 1 ) ] Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy P ( t ) ≥ 2 9 suy ra t ∈ ( 0 ; 1 ) min P ( t ) = 2 9 khi t = 3 2 Do đó P ≥ P ( t ) ⇒ P ≥ 2 9 . Dấu "=" xảy ra khi { b 2 = b − 4 1 lo g b a = 3 2 ⇔ { b = 2 1 a = ( 2 1 ) 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 9

Ta có:

$(b - \frac{1}{2})^{2} \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} - b + \frac{1}{4} \geq 0 \Rightarrow 0 < b - \frac{1}{4} \leq b^{2}, \forall b \in (\frac{1}{4}; 1)$

(đánh giá để đưa $lo g_{a} (b - \frac{1}{4}) v \overset{ˋ}{\overset{e}{^}} lo g_{a} b^{2}$ )

Mà $\frac{1}{4} < a < 1$ nên $lo g_{a} (b - \frac{1}{4}) \geq lo g_{a} b^{2}$

Do đó

$P \geq lo g_{a} b^{2} - lo g_{\frac{a}{b}} b = 2 lo g_{a} b - \frac{1}{2} lo g_{\frac{a}{b}} b = \frac{2}{lo g _{b} a} - \frac{1}{2} . \frac{1}{lo g _{b} \frac{a}{b}} = \frac{2}{lo g _{b} a} - \frac{1}{2 ( lo g _{b} a - 1 )}$

Đặt $lo g_{b} a = t$ . Do b < a < 1 nên $lo g_{b} b > lo g_{b} a > lo g_{b} 1 \Rightarrow 0 < t < 1$

Suy ra $P \geq P (t) = \frac{2}{t} - \frac{1}{2 ( t - 1 )}$ với 0 < t < 1

Xét $P (t) = \frac{2}{t} - \frac{1}{2 ( t - 1 )}$ trên (0;1) ta có $P^{'} (t) = \frac{- 3 t ^{2} + 8 t - 4}{2 t ^{2} ( t - 1 ) ^{2}} \Leftrightarrow [t = \frac{2}{3} \in (0; 1) t = 2 \neq \in (0; 1)]$

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $P (t) \geq \frac{9}{2}$ suy ra $t \in (0; 1) min P (t) = \frac{9}{2} khi t = \frac{2}{3}$

Do đó $P \geq P (t) \Rightarrow P \geq \frac{9}{2}$ . Dấu "=" xảy ra khi ${b^{2} = b - \frac{1}{4} lo g_{b} a = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {b = \frac{1}{2} a = (\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{9}{2}$

Câu hỏi tương tự

Hàm số y = 2 x 2 − 3 c o s x có đạo hàm là

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz, tâm của mặt cầu ( S ) : ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 4 có tọa độ là

Xác nhận câu trả lời

Cho a , b , c > 0 v a ˋ a + b + c = 1 . Chứng minh rằng: 2 a 2 + ( 1 − a ) 2 ( 1 − 4 a ) 2 + 2 b 2 + ( 1 − b ) 2 ( 1 − 4 b ) 2 + 2 c 2 + ( 1 − c ) 2 ( 1 − 4 c ) 2 ≥ 2 1

Xác nhận câu trả lời

Cho hình cầu đường kính A A ′ = 2 r . Gọi H là một điểm trên đoạn AA' sao cho A H = 3 4 r . Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc AA' cắt hình cầu theo đường tròn (C'), tam giác đều BDC nội tiếp trong đư...

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân I = ∫ 0 1 x ( e 2 x + x 2 + 1 ) d x

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG