Câu hỏi

Cho hai số a,b thoả mãn a + b  = 0 . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + ( a + b ab + 1 ) 2 ≥ 2

Cho hai số a,b thoả mãn $a + b \neq = 0$ . Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} \geq 2$

R. Roboteacher73

Giáo viên

University of Pedagogy

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có a 2 + b 2 + ( a + b ab + 1 ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab + ( a + b ) 2 ( ab + 1 ) 2 − 2 ab = ( a + b ) 2 + ( a + b ) 2 ( ab + 1 ) 2 − 2 ab ≥ 2 ( a + b ) 2 . ( a + b ) 2 ( ab + 1 ) 2 − 2 ab (Cô si cho hai số dương ( a + b ) 2 và ( a + b ) 2 ( ab + 1 ) 2 ) = 2 ∣ ab + 1 ∣ − 2 ab ≥ 2 ( ab + 1 ) − 2 ab = 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ ( a + b ) 2 = ( a + b ) 2 ( ab + 1 ) 2 ⇔ ( a + b ) 2 = ∣ ab + 1 ∣

Ta có $a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2 ab$

$= (a + b)^{2} + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2 ab$

$\geq 2 (a + b)^{2} . \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2 ab$ (Cô si cho hai số dương $(a + b)^{2}$ và $\frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}}$ )

$= 2 ∣ ab + 1 ∣ - 2 ab \geq 2 (ab + 1) - 2 ab = 2$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (a + b)^{2} = \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} \Leftrightarrow (a + b)^{2} = ∣ ab + 1 ∣$

Câu hỏi tương tự

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a + b ≤ 2 . Chứng minh

Xác nhận câu trả lời

Rút gọn biểu thức 7 2 + 8 − 32

Xác nhận câu trả lời

Cho hai biểu thức: với x > 0 , x  = 1 , x  = 4 . Tính giá trị của A tại x=9

Xác nhận câu trả lời

Đư ờ n g t h ẳ n g y = a x + b so n g so n g v ớ i đư ờ n g t h ẳ n g y = 2 x − 1 v a ˋ c a ˘ ˊ t t r ụ c h o a ˋ nh t ạ i đ i ể m c o ˊ h o a ˋ nh đ ộ b a ˘ ˋ n g − 3. T ı ˊ nh g i a ˊ t r ị c ủ a bi...

Xác nhận câu trả lời

Giả sử x , y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x ( x y + 1 ) = 2 y 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = 1 + y 2 + y 4 ( x 4 + x 2 ) y 2

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG