Cho hai đống đá, một đống có a hòn đá, đống kia có b hòn đá. Hai người chơi, mỗi người đến lượt mình được lấy một hòn đá từ một trong hai đống, hoặc lấy phần nguyên của một nữa số hòn đá từ đống thứ nhất, hoặc lấy phần nguyên một nửa số hòn đá từ đống thứ hai, hoặc lấy từ hai đống số hòn đá như nhau. Người lấy được hòn đá cuối cùng là người chiến thắng. Hãy tìm tất cả các cặp (a, b) trong đó a ≤ 8 , b ≤ 13 sao cho người đi sau có chiến thuật thắng.

Giải thích

Ở trạng thái một đống có a hòn đá, đống kia có b hòn đá ta đặt tương ứng với một điểm trên mặt phẳng tọa độ (a, b). Theo giả thiết bài toán, đến lượt một người chơi nào đó thì chuyển một điểm (a, b) thành một điểm (a-i, b-i) trong đó 1 ≤ i ≤ min { a , b } , hoặc điểm (a-1, b), hoặc điểm (a, b-1), hoặc điểm ( [ 2 a ​ ] , b ) , hoặc điểm ( a , [ 2 b ​ ] ) . Nếu người chơi nào chuyển về điểm (0,0) trước thì người đó chiến thắng. Một điểm (a, b) được gọi điểm “thua" nếu người nào phải chuyển điểm này, luôn luôn tạo ra điểm mà người chơi tiếp theo có chiến thuật chuyển về điểm (0,0). Điểm như vậy kí hiệu là L. Một điểm (a, b) được gọi điểm "thắng" nếu đến lượt người nào phải chuyển điểm này, luôn tồn tại ít nhất một khả năng để chuyển điểm đó về điểm "thua". Điểm như vậy được kí hiệu là W. Như vậy, nếu (a, b) là điểm "thua" thì người đi sau luôn có chiến thuật thắng. Bài toán trở thành tìm tất cả các điểm "thua". Bây giờ biểu diễn tất cả các điểm (a, b) trong đó a ≤ 13 , b ≤ 8 thành các điểm W hay L trên mặt phẳng tọa độ và tìm tất cả điểm tương ứng với L. Dựa vào hình vẽ ta thấy các điểm thỏa mãn bài toán là: (2,0) ;(5,0) ;(7,0) ;(11,0) ;(4,1) ;(9,1) ;(13,1) ;(0,2) ; (3,2) ;(8,2) ;(11,2) ;(2,3) ;(7,3) ;(1,4) ;(0,5) ;(0,7) ;(3,7) ;(2,8) .