Cho hai hàm số f(x),g(x) liên tục và đơn điệu trên [a,b] 1. Chứng minh rằng: Nếu f(x),g(x) là hai hàm cùng đồng biến hoặc hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) g ( x ) d x ≥ ( b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) d x ) ( b − a 1 ​ ∫ a b ​ g ( x ) d x ) 2. Chứng minh rằng:Nếu f(x),g(x) có tính đơn điệu ngược chiều nhau tức là một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến thì ta có bất đẳng thức b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) g ( x ) d x ≤ ( b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) d x ) ( b − a 1 ​ ∫ a b ​ g ( x ) d x )

Giải thích

Ta sẽ chứng minh f(x),g(x) là hai hàm liên tục và đồng biến [a,b] Ta có f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ∀ x ∈ [ a , b ] ⇒ ∫ a b ​ f ( a ) d x ≤ ∫ a b ​ f ( x ) d x ≤ ∫ a b ​ f ( b ) d x ⇔ f ( a ) ( b − a ) ≤ ∫ a b ​ f ( x ) d x ≤ f ( b ) ( b − a ) ⇔ f ( a ) ≤ b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) d x ≤ f ( b ) ( 1 ) Theo định lí về giá trị trung gian của một hàm số liên tục thì tồn tại điểm x 0 ​ ∈ [ a , b ] sao cho f ( x 0 ​ ) = b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) d x . Mặt khác do f(x),g(x) đồng biến trên [a,b] nên [ f ( x ) − f ( x 0 ​ ) ] [ g ( x ) − g ( x 0 ​ ) ] ≥ 0 với mọi x ∈ [ a , b ] ⇔ 0 ≤ f ( x ) g ( x ) − f ( x 0 ​ ) g ( x ) − g ( x 0 ​ ) f ( x ) + f ( x 0 ​ ) g ( x 0 ​ ) ⇒ 0 ≤ ∫ a b ​ [ f ( x ) g ( x ) − f ( x 0 ​ ) g ( x ) − g ( x 0 ​ ) f ( x ) + f ( x 0 ​ ) g ( x 0 ​ ) ] d x = ∫ a b ​ f ( x ) g ( x ) d x − f ( x 0 ​ ) ∫ a b ​ g ( x ) d x − g ( x 0 ​ ) ∫ a b ​ f ( x ) d x + f ( x 0 ​ ) g ( x 0 ​ ) ( b − a ) = ∫ a b ​ f ( x ) g ( x ) d x − f ( x 0 ​ ) ∫ a b ​ g ( x ) d x − g ( x 0 ​ ) f ( x 0 ​ ) ( b − a ) + f ( x 0 ​ ) g ( x 0 ​ ) ( b − a ) ⇔ ∫ a b ​ f ( x ) g ( x ) d x ≥ f ( x 0 ​ ) ∫ a b ​ g ( x ) d x = b − a 1 ​ ∫ a b ​ f ( x ) d x ∫ a b ​ g ( x ) d x ⇒ ( đ p c m )