Câu hỏi

Cho hệ phương trình (I) { x 2 − y 2 + a ( x + y ) = x − y + a ( 1 ) x 2 + y 2 + b x y = 3 ( 2 ) Xác định tất cả giá trị a,b để hệ (I) có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt

Cho hệ phương trình (I) ${x^{2} - y^{2} + a (x + y) = x - y + a (1) x^{2} + y^{2} + b x y = 3 (2)$

Xác định tất cả giá trị a,b để hệ (I) có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt

R. Roboctvx82

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ ( x + y ) ( x − y + a ) = x − y + a ⇔ ( x + y − 1 ) ( x − y + a ) = 0 ⇔ [ x + y − 1 x − y + a = = 0 0 Do đ o ˊ ( 1 ) ⇔ [ { x + y − 1 = 0 x 2 + y 2 + b x y = 3 ( II ) { x − y + a = 0 x 2 + y 2 + b x y = 3 ( III ) Với a=b=1 ta có (II) { x + y − 1 = 0 ( 3 ) x 2 + y 2 + x y = 3 ( 4 ) Nhận xét rằng phương trình (3) có nhiều nhất hai nghiệm, do đó, hệ (II) có nhiều nhất hai nghiệm. Nếu b #−2 thì (4) có nhiều nhất hai nghiệm, do đó, hệ (I) có nhiều nhất hai nghiệm. Vậy b #−2 không thỏa mãn. Nếu b = -2 thì để (4) có nghiệm phải có a 2 ⇔ -3=0 a = ± 3 . Khi đó (4) có vô số nghiệm, và do đó, hệ (I) có vô số nghiệm. Vậy hệ (I) có nhiều hơn bốn nghiệm ⇔ { b = − 2 a = ± 3

$(1) \Leftrightarrow (x + y) (x - y + a) = x - y + a \Leftrightarrow (x + y - 1) (x - y + a) = 0 \Leftrightarrow [x + y - 1 x - y + a = = 00 Do đ \overset{o}{ˊ} (1) \Leftrightarrow [{x + y - 1 = 0 x^{2} + y^{2} + b x y = 3 (II) {x - y + a = 0 x^{2} + y^{2} + b x y = 3 (III)$