Cho hình vuông ABCD có cạnh a . M là một điểm trên đường thẳng BC ( M khác B và C ). Vẽ hình vuông AMEN . Tia AM cắt DC tại Q , tia NAcắt CB tại P . Gọi I là trung điểm của PQ a) Chứng minh ba điểm N, D, Cthẳng hàng và ∆APQ vuông cân. b) Gọi O là giao điểm của AE và MN . Xác định dạng của tứ giác AOKI ( K là giao điểm của NM với PQ ). c) Chứng minh rằng: khi M di động trên đường thẳng BC thì O và I luôn di động trên một đường thẳng cố định. d) Xác định vị trí của M trên đường thẳng BC sao cho diện tích hình vuông AMEN = 4a 2 .

Giải thích

a) Ta có: N A D = M A B (cùng phụ với M A D ) Xét ∆ADN và ∆ABM có: AD = AB N A D = M A B AN = AM suy ra∆ADN =∆ABM (c.g.c) ⇒ A D N = A BM = 9 0 ∘ ⇒ ND ⊥ AD , mà DC ⊥AD, từ đó suy ra ba điểm N, D, C thẳng hàng. Ta có tứ giác AMEN là hình vuông, suy ra N A M = 9 0 ∘ ⇒ P A M = 9 0 ∘ ⇒ △ A PQ vuông tại A Mà tứ giác AMEN là hình vuông, suy ra N A M = 9 0 ∘ ⇒ A NM = 4 5 ∘ Xét ∆NPQ có các đường cao PC, QA cắt nhau tại M ⇒ M là trực tâm, suy ra NM ⊥ PQ, mặt khác NM ⊥AE , từ đó suy ra PQ // AE ⇒ A PQ ​ = N A E = 4 5 ∘ (đồng vị). Do đó ∆APQ vuông cân tại A . b) Ta có ∆APQ vuông cân tại A , có AI là trung tuyến suy ra A I ⊥ PQ ⇒ I = 9 0 ∘ Xét tứ giác AOKI có O = K = I = 9 0 ∘ ⇒ tứ giác AOKI là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) c) Ta có I A = I C ( = 2 1 ​ PQ ) ⇒ Ithuộc trung trực của AC ⇒ I ∈ B D Mà O A = OC ( = 2 1 ​ MN ) ⇒ Othuộc trung trực của AC ⇒ O ∈ B D . Từ đó suy ra khi M di động trên đường thẳng BC thì O và I luôn di động trên một đường thẳng cố định BD . d) Ta có diện tích hình vuông A MEN = 4 a 2 ⇒ A M = 2 a Xét ∆ABM vuông tại B ta có: B M 2 = A M 2 − A B 2 = 4 a 2 − a 2 = 3 a 2 ⇒ BM = a 3 ​ Vậy khi M thuộc đoạn thẳng BC sao cho BM = a 3 ​ thì diện tích hình vuông A MEN = 4 a 2