Cho hình tròn bán kính r. Xét tất cả các tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn. Tìm giá trị nhỏ nhất của đại lượng P = AB + CD.

Giải thích

Gọi M là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác⇒ M là giao điểm của các đường phân giác trong của các đường phân giác trong của các góc A, B, C, D của tứ giác. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và gọi ABN là tam giác cân nội tiếp có đỉnh là N sao cho ANB = AMB Gọi h là khoảng cách từ N xuống AB, còn h 1 là khoảng cách từ M xuống AB. Khi đó ta có: h ≥ h 1 ​ v a ˋ h 1 ​ = r . ta có A B = 2 htan 2 ANB ​ = 2 htan 2 AMB ​ ⇒ AB ≥ 2 rtan 2 AMB ​ ( 1 ) Dấu bằng trong (1) xảy ra⇔ h = h 1 ⇔ M cách đều A và B. Tương tự ta có: CD ≥ 2 rtan 2 CMD ​ ( 2 ) Dấu bằng trong (2) xảy ra⇔ M cách đều C và D. Từ (1) (2) có: P = AB + CD ≥ 2 r ( tan 2 AMB ​ + tan 2 CMD ​ ) ( 3 ) Dấu bằng trong (3) xảy ra⇔ đồng thời có dấu bằng trong (1) (2) Ta có: AMB + CMD = ( 18 0 0 − 2 A + B ​ ) + ( 18 0 0 − 2 C + D ​ ) = 18 0 0 ⇒ tan 2 AMB ​ = cot 2 CMD ​ = tan 2 CMD ​ 1 ​ . Vì theo bất đẳng thức Cô si, suy ra: tan 2 AMB ​ + tan 2 CMD ​ = tan 2 CMD ​ 1 ​ + tan 2 CMD ​ ≥ 2 ( 4 ) Dấu bằng trong (4) xảy ra ⇔ 2 A MB ​ = 4 5 0 Từ (3) (4) đi đến: P ≥ 4 r (5) Dấu bằng trong (5) xảy ra⇔ đồng thời có dấu bằng trong (3), (4) ⇔ M cách đều A, B, M cách C, D và A MB = CM D = 9 0 0 ⇔ ABCD là hình vuông ngoại tiếp đường tròn bán kính r đã cho. Tóm lại minP = 4r. Giá tri nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi ABCD là hình vuông ngoại tiếp đường tròn bán kính r cho trước.