Câu hỏi

Cho hình nón N 1 có đỉnh S, chiều cao h . Một hình nón N 2 có đỉnh là tâm của đáy N 1 và có đáy là một thiết diện song song với đáy của N 1 như hình vẽ. Khối nón N 2 có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

Cho hình nón $N_{1}$ có đỉnh S, chiều cao h . Một hình nón $N_{2}$ có đỉnh là tâm của đáy $N_{1}$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $N_{1}$ như hình vẽ. Khối nón $N_{2}$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

$\frac{h 3}{3}$
$\frac{h}{2}$
$\frac{h}{3}$
$\frac{2 h}{3}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi r là bánh kính đáy khối nón N 1 . Gọi V 1 là thể tích khối nón N 1 Ta có V 1 = 3 1 π r 2 h ⇔ r = π h 3 V 1 Gọi r' là bán kính đáy của khối nón N 2 Ta có r r ′ = h h − x ⇔ r ′ = h r ( h − x ) Gọi V 2 là thể tích khối nón N 2 Ta có : V 2 = 3 1 π r ′2 x = 3 h 2 π r 2 ( h − x ) 2 x = 6 h 2 π . π h 3 V ( h − x ) ( h − x ) 2 x = 2 h 3 V 1 ( h − x ) ( h − x ) 2 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương h − x , h − x , 2 x ta có: ( h − x ) ( h − x ) 2 x ≤ 27 ( h − x + h − x + 2 x ) 3 ⇔ ( h − x ) ( h − x ) 2 x ≤ 27 8 h 3 ⇔ 2 h 3 V 1 ( h − x ) ( h − x ) 2 x ≤ 27 4 V 1 Dấu " = " xảy ra h − x = 2 x ⇔ x = 3 h Vậy khối nón N 2 có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng 3 h

Gọi r là bánh kính đáy khối nón $N_{1}$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón $N_{1}$

Ta có $V_{1}$ $= \frac{1}{3} π r^{2} h \Leftrightarrow r = \frac{3 V _{1}}{π h}$

Gọi r' là bán kính đáy của khối nón $N_{2}$

Ta có $\frac{r ^{'}}{r} = \frac{h - x}{h} \Leftrightarrow r^{'} = \frac{r ( h - x )}{h}$

Gọi $V_{2}$ là thể tích khối nón $N_{2}$

Ta có :

$V_{2} = \frac{1}{3} π r^{'2} x = \frac{π r ^{2}}{3 h ^{2}} (h - x)^{2} x = \frac{π}{6 h ^{2}} . \frac{3 V}{π h} (h - x) (h - x) 2 x = \frac{V _{1}}{2 h ^{3}} (h - x) (h - x) 2 x$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $h - x, h - x, 2 x$ ta có:

$(h - x) (h - x) 2 x \leq \frac{( h - x + h - x + 2 x ) ^{3}}{27} \Leftrightarrow (h - x) (h - x) 2 x \leq \frac{8 h ^{3}}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{V _{1}}{2 h ^{3}} (h - x) (h - x) 2 x \leq \frac{4 V _{1}}{27}$

Dấu $" = "$ xảy ra $h - x = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}$

Vậy khối nón $N_{2}$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng $\frac{h}{3}$

Câu hỏi tương tự

Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ sin x + 3 cos x cos 2 x d x .

Xác nhận câu trả lời

Cho ba vectơ a = ( 1 ; 2 ; 1 ) ; b = ( 2 ; 1 ; 2 ) ; c = ( 3 ; 2 ; − 1 ) . a 2 . b + b 2 . c + c 2 . a là một vectơ tọa độ bằng:

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz cho A (1;2;-1) v à hai đườ ng th ẳ ng d 1 : 1 x − 1 = 1 y = − 2 z − 1 ; d 2 : 1 x = 2 y − 1 = − 2 z . T ì m M thu ộ c d 1 ;N thu ộ c d 2 sao cho đườ ng th ẳ n...

Xác nhận câu trả lời

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V.gọi I,J là trung điểm các cạnh BB’và B’C’ .thể tích tứ diện AA’IJ là:

Xác nhận câu trả lời

Cho hai điểm A(-1 ; 3 ; 2) ; B(-9 ; 4 ; 9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Tìm điểm K ∈ ( P ) sao cho AK+BK là nhỏ nhất.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG