Câu hỏi

Cho hình lập phương A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh 2a , gọi M là trung điểm của B B ′ và P thuộc cạnh D D ′ sao cho D P = 4 1 D D ′ . Mặt phẳng ( A MP ) cắt C C ′ tại N . Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

Cho hình lập phương $A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh 2a , gọi M là trung điểm của $B B^{'}$ và P thuộc cạnh $D D^{'}$ sao cho $D P = \frac{1}{4} D D^{'}$ . Mặt phẳng $(A MP)$ cắt $C C^{'}$ tại N . Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

$V = 2 a^{3}$
$V = 3 a^{3}$
$V = \frac{9 a ^{3}}{4}$
$V = \frac{11 a ^{3}}{3}$

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đáp án B Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp Cho hình hộp A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ , gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A A ′ , B B ′ , C C ′ .Mặt phẳng (MPN)cắt cạnh D D ′ tại Q . Khi đó: V A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ V MNPQ . A ′ B ′ C ′ D ′ = 2 1 ( A A ′ M A ′ + C C ′ P C ′ ) = 2 1 ( B B ′ N B ′ + D D ′ Q D ′ ) Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD ≡ AMNP. ABCD. ta có: V A ′ B ′ C ′ D ′ . A BC D V A MNP . A BC D = 2 1 ( B B ′ MB + D D ′ P D ) = 2 1 ( 2 1 + 4 1 ) = 8 3 Vậy V A MNPBC D = V A MNP . A BC D = 8 3 V A ′ B ′ C ′ D ′ . A BC D = 8 3 ( 2 a ) 3 = 3 a 3 Cách 2 Thể tích khối lập phương A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ là V = ( 2 a ) 3 = 8 a 3 Gọi O , O ′ lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A ′ B ′ C ′ D , gọi K = O O ′ ∩ MP , khi đó N = A K ∩ C C ′ Ta có O K = 2 1 ( D P + BM ) = 2 1 ( a + 2 a ) = 4 3 a . Do đó CN = 2 O K = 2 3 a Diện tích hình thang BMNC là S BMNC = − 2 1 ( BM + CN ) = 2 1 ( a + 2 3 a ) .2 a = 2 5 a 2 Thể tích khối chóp A.BMNC là V A . BMNC = 3 1 . S BMNC . A B = 3 1 2 .5 a 2 .2 a = 3 5 a 2 Diện tích hình thang DPNC là S D PNC = 2 1 ( D P + CN ) . C D = 2 1 ( 2 a + 2 3 a ) .2 a = 2 a 2 Thể tích khối chóp A.DPNC là V A . D PNC = 3 1 . S D PNC . A D = 3 1 .2 a 2 .2 a = 3 4 a 3 Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng V = V A . BMNC + V A . D PNC = 3 5 a 3 + 3 4 a 3 = 3 a 3

Đáp án B

Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp
Cho hình hộp $A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ . Mặt phẳng (MPN) cắt cạnh $D D^{'}$ tại Q . Khi đó:
$\frac{V _{MNPQ . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}}{V _{A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{1}{2} (\frac{M A ^{'}}{A A ^{'}} + \frac{P C ^{'}}{C C ^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{N B ^{'}}{B B ^{'}} + \frac{Q D ^{'}}{D D ^{'}})$

Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD $\equiv$ AMNP. ABCD. ta có:

$\frac{V _{A MNP . A BC D}}{V _{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} . A BC D}} = \frac{1}{2} (\frac{MB}{B B ^{'}} + \frac{P D}{D D ^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$

Vậy $V_{A MNPBC D} = V_{A MNP . A BC D} = \frac{3}{8} V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} . A BC D} = \frac{3}{8} (2 a)^{3} = 3 a^{3}$

Cách 2

Thể tích khối lập phương $A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là $V = (2 a)^{3} = 8 a^{3}$

Gọi O , $O^{'}$ lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và $A^{'} B^{'} C^{'} D$ , gọi $K = O O^{'} \cap MP$ , khi đó $N = A K \cap C C^{'}$

Ta có $O K = \frac{1}{2} (D P + BM) = \frac{1}{2} (a + \frac{a}{2}) = \frac{3 a}{4}$ . Do đó $CN = 2 O K = \frac{3 a}{2}$
Diện tích hình thang BMNC là
$S_{BMNC} = - \frac{1}{2} (BM + CN) = \frac{1}{2} (a + \frac{3 a}{2}) .2 a = \frac{5 a ^{2}}{2}$

Thể tích khối chóp A.BMNC là
$V_{A . BMNC} = \frac{1}{3} . S_{BMNC} . A B = \frac{1}{3} \frac{.5 a ^{2}}{2} .2 a = \frac{5 a ^{2}}{3}$

Diện tích hình thang DPNC là

$S_{D PNC} = \frac{1}{2} (D P + CN) . C D = \frac{1}{2} (\frac{a}{2} + \frac{3 a}{2}) .2 a = 2 a^{2}$

Thể tích khối chóp A.DPNC là
$V_{A . D PNC} = \frac{1}{3} . S_{D PNC} . A D = \frac{1}{3} .2 a^{2} .2 a = \frac{4 a ^{3}}{3}$

Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

$V = V_{A . BMNC} + V_{A . D PNC} = \frac{5 a ^{3}}{3} + \frac{4 a ^{3}}{3} = 3 a^{3}$

Câu hỏi tương tự

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + x là

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; 3 ) . Mặt cầu ( S ) thay đổi đi qua ba điểm A,B,C cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm thứ hai M ,N ,P ( ...

Xác nhận câu trả lời

Tập nghiệm của phương trình lo g 2 ( x 2 − x + 2 ) = 1 là:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau : Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là :

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian O x yz cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng d : 1 x = 2 y + 1 = − 1 z − 2 Hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) có phương trình là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG