Câu hỏi

Cho hình lăng trụ đứng A BC . A ′ B ′ C ′ có A B = A C = a , góc B A C = 12 0 ∘ , A A ′ = a . Gọi M , + 4 m u N lần lượt là trung điểm của B ′ C ′ và C C ′ . Số đo góc giữa mặt phẳng ( A MN ) và mặt phẳng ( A BC ) bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A BC . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A B = A C = a,$ góc $B A C = 12 0^{\circ}, A A^{'} = a .$ Gọi $M, + 4 m u N$ lần lượt là trung điểm của $B^{'} C^{'}$ và $C C^{'} .$ Số đo góc giữa mặt phẳng $(A MN)$ và mặt phẳng $(A BC)$ bằng

$6 0^{\circ} .$
$3 0^{\circ} .$
$a rc cos \frac{3}{4} .$
$a rc sin \frac{3}{4} .$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn C Ta có △ A ′ M C ′ vuông tại M có A ′ C ′ M = 3 0 ∘ ⇒ A ′ M = 2 1 . A ′ C ′ = 2 2 M C ′ = 2 a 3 ⇒ B ′ C ′ = a 3 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( A MN ) và mặt phẳng ( A BC ) ⇒ α = ( ( A MN ) ; ( A ′ B ′ C ′ ) ) Tam giác A ′ M C ′ là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng ( A ′ B ′ C ′ ) nên cos α = S A MN S A ′ M C ′ Ta có S A ′ M C ′ = 2 1 . S A BC = 4 1 . A B . A C . sin B A C = 8 3 a 2 . A N 2 = A C 2 + C N 2 = a 2 + ( 2 a ) 2 = 4 5 a 2 ⇒ A N = 2 a 5 . A M 2 = A A ′2 + A ′ M 2 = A A ′2 + ( 2 A ′ C ′ ) 2 = 4 5 a 2 ⇒ A M = 2 a 5 M N 2 = C ′ N 2 + C ′ M 2 = 4 a 2 + ( 2 a 3 ) 2 = a 2 ⇒ MN = a . Gọi I là trung điểm của MN ⇒ A I ⊥ MN A I = A N 2 − I N 2 = a S A MN = 2 1 . A I . MN = 2 a 2 ⇒ cos α = 4 3 Vậy số đo góc giữa mặt phẳng ( A MN ) và ( A BC ) bằng a rc cos 4 3 .

Chọn C

Ta có $△ A^{'} M C^{'}$ vuông tại M có $A^{'} C^{'} M = 3 0^{\circ} \Rightarrow A^{'} M = \frac{1}{2} . A^{'} C^{'} = \frac{2}{2} M C^{'} = \frac{a 3}{2} \Rightarrow B^{'} C^{'} = a 3 .$

Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng $(A MN)$ và mặt phẳng $(A BC) \Rightarrow α = ((A MN); (A^{'} B^{'} C^{'}))$

Tam giác $A^{'} M C^{'}$ là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ nên $cos α = \frac{S _{A^{'} M C^{'}}}{S _{A MN}}$

Ta có $S_{A^{'} M C^{'}} = \frac{1}{2} . S_{A BC} = \frac{1}{4} . A B . A C . sin B A C = \frac{3 a ^{2}}{8} .$

$A N^{2} = A C^{2} + C N^{2} = a^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = \frac{5 a ^{2}}{4} \Rightarrow A N = \frac{a 5}{2} . A M^{2} = A A^{'2} + A^{'} M^{2} = A A^{'2} + (\frac{A ^{'} C ^{'}}{2})^{2} = \frac{5 a ^{2}}{4} \Rightarrow A M = \frac{a 5}{2} M N^{2} = C^{'} N^{2} + C^{'} M^{2} = \frac{a ^{2}}{4} + (\frac{a 3}{2})^{2} = a^{2} \Rightarrow MN = a .$

Gọi I là trung điểm của $MN \Rightarrow A I ⊥ MN$

$A I = A N^{2} - I N^{2} = a S_{A MN} = \frac{1}{2} . A I . MN = \frac{a ^{2}}{2} \Rightarrow cos α = \frac{3}{4}$

Vậy số đo góc giữa mặt phẳng $(A MN)$ và $(A BC)$ bằng $a rc cos \frac{3}{4} .$

Câu hỏi tương tự

Cho hình chóp S . A BC có S A = SB = SC = 3 , tam giác A BC vuông cân tại B và A C = 2 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A C và BC . Trên hai cạnh S A , SB lấy các điểm P , Q tương ứng sao ch...

Xác nhận câu trả lời

Cho tam giác đều ABCcạnh a quay quanh đường cao AHtạo nên một hình nón. Thể tích của hình nón đó bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết S A = A B = BC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng 3 π . Thể tích khối chóp là:

Xác nhận câu trả lời

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

Xác nhận câu trả lời

Đáy của lăng trụ đứng tam giác A BC ⋅ A ′ B ′ C ′ là tam giác đều. Mặt phẳng ( A ′ BC ) tạo với đáy một góc 30 0 và diện tích tam giác A ′ BC bằng 8 . Tính thể tích lăng trụ.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện