Câu hỏi

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2 A C = 2 a Đường thẳng AC' tạovới mặt phẳng (BCC’B’) một góc 3 0 ∘ .Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăngtrụ đã cho bằng:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có $BC = 2 A C = 2 a$

Đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc $3 0^{\circ}$ . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng:

$12 π a^{2}$
$6 π a^{2}$
$4 π a^{2}$
$3 π a^{2}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi O, O’ lần trung điểm của BC và B’C’. Vì tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ nên O, O’ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tamgiác ABC, A’B’C’. Lại có OO’ vuông góc với hai đáy nên OO’ là trục hai đáy. Gọi I là trung điểm của OO’ ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ. Trong ( A BC ) kẻ A H ⊥ BC ( H ∈ BC ) ta có { A H ⊥ BC A H ⊥ B B ′ ⇒ A H ⊥ ( BC C ′ B ′ ) ⇒ H C ′ là hình chiếu củaAC’ lên (BCC’B’), do đó ∠ ( A C ′ ; ( BC C ′ B ′ ) ) = ∠ ( A C ′ ; H C ) = ∠ A C ′ H = 3 0 ∘ Xét tam giác vuông ABC ta có A B = B C 2 − A C 2 = 4 a 2 − a 2 = a 3 ⇒ A H = BC A B . A C = 2 a a 3 . a = 2 a 3 Xét tam giác AC’H vuông tại H có: A C ′ = sin ( 3 0 ∘ ) A H = 2 a 3 ÷ 2 1 = a 3 Xét tam giác vuông AA’C’ có: A A ′ = A C ′2 − A ′ C ′2 = 3 a 2 − a 2 = a 2 = O O ′ ⇒ I O = 2 1 O O ′ = 2 a 2 Xét tam giác vuông IOC có: I C = I O 2 + O C 2 = 2 a 2 + a 2 = 2 a 6 = R Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: S = 4 π R 2 = 4 π ( 2 a 6 ) 2 = 6 π a 2

Gọi O, O’ lần trung điểm của BC và B’C’.

Vì tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ nên O, O’ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A’B’C’. Lại có OO’ vuông góc với hai đáy nên OO’ là trục hai đáy.

Gọi I là trung điểm của OO’ $\Rightarrow$ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.

Trong $(A BC)$ kẻ $A H ⊥ BC (H \in BC)$ ta có ${A H ⊥ BC A H ⊥ B B^{'} \Rightarrow A H ⊥ (BC C^{'} B^{'}) \Rightarrow H C^{'}$ là hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’), do đó $∠ (A C^{'}; (BC C^{'} B^{'})) = ∠ (A C^{'}; H C) = ∠ A C^{'} H = 3 0^{\circ}$

Xét tam giác vuông ABC ta có $A B = B C^{2} - A C^{2} = 4 a^{2} - a^{2} = a 3$

$\Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{BC} = \frac{a 3 . a}{2 a} = \frac{a 3}{2}$

Xét tam giác AC’H vuông tại H có: $A C^{'} = \frac{A H}{sin ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{a 3}{2} \div \frac{1}{2} = a 3$

Xét tam giác vuông AA’C’ có: $A A^{'} = A C^{'2} - A^{'} C^{'2} = 3 a^{2} - a^{2} = a 2 = O O^{'}$

$\Rightarrow I O = \frac{1}{2} O O^{'} = \frac{a 2}{2}$

Xét tam giác vuông IOC có: $I C = I O^{2} + O C^{2} = \frac{a ^{2}}{2} + a^{2} = \frac{a 6}{2} = R$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S = 4 π R^{2} = 4 π (\frac{a 6}{2})^{2} = 6 π a^{2}$

Câu hỏi tương tự

Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình x − 4 m + x + 1 4 = 0 có nghiệm x ∈ [ 0 ; 4 ] ?

Xác nhận câu trả lời

Tìm công bội q của một cấp số nhân ( u n ) có u 1 = 2 1 và u 6 = 6

Xác nhận câu trả lời

Cho elip (E): 32 x 2 + 28 y 2 = 1 . Có hai tiếp tuyến của (E) cùng vuông góc với đường thẳng 2x-3y+5=0. Một trong hai tiếp tuyến đó có phương trình:

Xác nhận câu trả lời

Cho hai điểm A ( 2 ; − 3 ) , B ( − 2 ; 1 ) và Δ : x + 3 y + 2 = 0 . Tìm điểm M ∈ Δ để ∣ M A − MB ∣ lớn nhất

Xác nhận câu trả lời

Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện