Câu hỏi

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V . Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh AA',AB,B'C' . Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh B theo V .

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh AA',AB,B'C'. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh B theo V.

$\frac{47 V}{144}$
$\frac{49 V}{144}$
$\frac{37 V}{72}$
$\frac{V}{3}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác MNQPR. Đặt d ( B ; ( A ′ B ′ C ′ ) ) = h , A ′ B ′ = a , d ( C ; A ′ B ′ ) = 2 b . Khi đó ta có thể tích lăng trụ V = 2 1 . d ( C ′ ; A ′ B ′ ) . A ′ B ′ . d [ B ; ( A ′ B ′ C ′ ) ] = 2 1 .2 b . a . h = abh . Xét hình chóp L . J P B ′ có L J L N = L B ′ L B = J B ′ NB = 3 1 suy ra d [ L ; ( A ′ B ′ C ′ ) ] = 2 3 d [ B ; ( A ′ B ′ C ′ ) ] = 2 3 h , J B ′ = 2 3 A ′ B ′ = 2 3 a , d ( P ; A ′ B ′ ) = 2 1 d ( C ′ ; A ′ B ′ ) = b Suy ra thể tích khối chóp L . J P B ′ là V L . J P B ′ = 3 1 . 2 3 h . 2 1 . 2 3 a . b = 8 3 abh = 8 3 V Mặt khác ta có: V L . J P B ′ V L . NBQ = L J L N . L B ′ L B . L P L Q = 3 1 . 3 1 . 3 1 = 27 1 ⇒ V L NBQ = 27 1 V L J P B ′ = 27 1 . 8 3 V = 72 1 V V L J P B ′ V J . R A ′ M = J L J M . J B ′ J A ′ . J P J R = 3 1 . 3 1 . 2 1 = 18 1 ⇒ V L . NBQ = 18 1 V L . J P B ′ = 18 1 . 8 3 V = 48 1 V Suy ra thể tích khối đadiện V NQB B ′ PR A ′ = V L J P B ′ − V L . NBQ − V J . A ′ RM = 8 3 V − 72 1 V − 48 1 V = 144 49 V

Ta dựng được thiết diện là ngũ giác MNQPR.

Đặt $d (B; (A^{'} B^{'} C^{'})) = h, A^{'} B^{'} = a, d (C; A^{'} B^{'}) = 2 b .$

Khi đó ta có thể tích lăng trụ $V = \frac{1}{2} . d (C^{'}; A^{'} B^{'}) . A^{'} B^{'} . d [B; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{1}{2} .2 b . a . h = abh .$

Xét hình chóp $L . J P B^{'}$ có

$\frac{L N}{L J} = \frac{L B}{L B ^{'}} = \frac{NB}{J B ^{'}} = \frac{1}{3}$ suy ra $d [L; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{3}{2} d [B; (A^{'} B^{'} C^{'})] = \frac{3}{2} h,$

$J B^{'} = \frac{3}{2} A^{'} B^{'} = \frac{3}{2} a, d (P; A^{'} B^{'}) = \frac{1}{2} d (C^{'}; A^{'} B^{'}) = b$

Suy ra thể tích khối chóp $L . J P B^{'}$ là $V_{L . J P B^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{3}{2} h . \frac{1}{2} . \frac{3}{2} a . b = \frac{3}{8} abh = \frac{3}{8} V$

Mặt khác ta có:

$\frac{V _{L . NBQ}}{V _{L . J P B^{'}}} = \frac{L N}{L J} . \frac{L B}{L B ^{'}} . \frac{L Q}{L P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{L NBQ} = \frac{1}{27} V_{L J P B^{'}} = \frac{1}{27} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{72} V \frac{V _{J . R A^{'} M}}{V _{L J P B^{'}}} = \frac{J M}{J L} . \frac{J A ^{'}}{J B ^{'}} . \frac{J R}{J P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{18} \Rightarrow V_{L . NBQ} = \frac{1}{18} V_{L . J P B^{'}} = \frac{1}{18} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{48} V$

Suy ra thể tích khối đa diện $V_{NQB B^{'} PR A^{'}} = V_{L J P B^{'}} - V_{L . NBQ} - V_{J . A^{'} RM}$

$= \frac{3}{8} V - \frac{1}{72} V - \frac{1}{48} V = \frac{49}{144} V$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian , mặt phẳng qua ba điểm , , có phương trình là . Giá trị bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho parabol ( P ) : y 2 = x và gọi F là tiêu điểm của (P). Giả sử đường thẳng (d) đi qua F cắt (P) tại hai điểm M 1 và M 2 . 1. Tính M 1 M 2 khi (d) song song với Oy. 2. Giả sử (d) không...

Xác nhận câu trả lời

Tìm nguyên hàm sau I 8 = ∫ ( 2 − 2 x ) 5 d x

Xác nhận câu trả lời

Giải phương trình x + 2 + x − 1 + 2 x 2 + x − 2 ≤ 11 − 2 x

Xác nhận câu trả lời

Cho số thực x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 z + 5 ≤ 0 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = 2 x + 3 y − 2 z

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG