Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5 a , BC = 6 a , CA = 7 a . Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 6 0 o . Tính thể tích của khối chóp đó.

Giải thích

Từ S dựng SH ⊥ ( ABC ) , H thuộc mặt phẳng (ABC), dựng HE ⊥ AB , HF ⊥ BC . HI ⊥ AC với E ∈ AB , F ∈ BC , I ∈ AC . Ta có: AB ⊥ SH ( SH ⊥ ( ABC ) ) AB ⊥ HE ​ } ⇒ AB ⊥ ( SHE ) ⇒ AB ⊥ SE Tương tự ta chứng minh được: SF ⊥ BC , SI ⊥ AC Khi đó, góc hợp bởi (SAB), (SBC), (SAC) với đáy (ABC) lần lượt là: SEH = SFH = SIH = 6 0 0 ⇒ △ SHE = △ SHF = △ SHI ⇒ HE = HF = HI = r (Với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Chu vi tam giác ABC là: 5 a + 6 a + 7 a = 18 a Suy ra nửa chu vi tam giác ABC là: p = 18 a : 2 = 9 a Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là: S ABC ​ = 9 a ( 9 a − 5 a ) ( 9 a − 6 a ) ( 9 a − 7 a ) ​ = 6 a 2 6 ​ Lại có: S ABC ​ = p . r ⇒ r = p S ABC ​ ​ = 9 a 6 a 2 6 ​ ​ = 3 2 a 6 ​ ​ ⇒ SH = EH . tan SEH = r . tan 6 0 0 = 3 2 a 6 ​ ​ . 3 ​ = 2 a 2 ​ Vậy thể tích của S.ABC là: V = 3 1 ​ . SH . S ABC ​ = 3 1 ​ .2 a 2 ​ .6 a 2 6 ​ = 8 a 3 3 ​ ( đ vtt )