Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có mặt cầu nội tiếp có bán kính r. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình chóp SABCD tương ứng là:

Giải thích

Ở bài toán này đã cho biết bán kính mặt cầu nội tiếp không đổi. Suy ra diện tích toàn phần nhỏ nhất khi thể tích hình chóp SABCD nhỏ nhất. Bài toán vẫn là đi tìm thể tích nhỏ nhất của hình chóp đều khi biết bán kính mặt cầu nội tiếp. Chóp đều nên có tâm mặt cầu nội tiếp sẽ nằm trên đường cao SO của chóp SABCD như hình vẽ: Dễ dàng thấy rằng từ I hạ IN vuông gốc với SM thì I N ⊥ ( SBC ) và suy ra: IN = r Đã biết: OM = OM = 2 a ​ ⇒ SM = ( SO ) 2 + ( OM ) 2 ​ = h 2 + 4 a 2 ​ ​ Xét hai tam giác đồng dạng SIN và SMO sẽ được: OM I N ​ = SM S I ​ ↔ 2 a ​ r ​ = 2 a 2 + 4 h 2 ​ ​ h − r ​ ↔ a r ​ = a 2 − 4 h 2 ​ h − r ​ → a 2 = h − 2 r 4 h . r 2 ​ Thể tích hình chóp SABCD là: V S A BC D ​ = 3 1 ​ S A BC D ​ . h = 3 1 ​ . a 2 . h = 3 ( h − 2 r ) 4 h 2 . r 2 ​ V S A BC D ​ = 3 4 r 2 ​ { h + 2 r + h − 2 r 4 r 2 ​ } = 3 4 r 2 ​ { 4 r + ( h − 2 r ) + h − 2 r 4 r 2 ​ } ≥ 3 4 r 2 ​ ( 4 r + 4 r ) = 3 32 r 3 ​ Dấu " = " xảy ra ⇔ h − 2 r = h − 2 r 4 r 2 ​ → h = 4 r Suy ra thể tích nhỏ nhất bằng: 3 32 r 3 ​ khi h = 4r hoặc a = 2 r 2 ​ Suy ra diện tích toàn phần nhỏ nhất là: S tp _ min ​ = r 3 V min ​ ​ = r 3. 3 32 r 3 ​ ​ = 32 r 2