Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, 1ab = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SD = a. 1. Chứng minh △ SBC vuông. Tính diện tích △ SBC 2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Giải thích

1.Chứng minh △ SBC vuông. Tính diện tích △ SBC Dự ng BH ⊥ Dc ⇒ ABDH là hình vuông Trong △ S D B vuông tại D, ta có: SB 2 = SD 2 + DB 2 = SD 2 + AD 2 + AB 2 = 3a 2 (1) △ B H C vuông tại H ta có: BC 2 = BH 2 + HC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 (2) △ S D C vuông tại D ta có: SC 2 = SD 2 + DC 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 (3) △ B H C vuông tại H ta có: SC 2 = SB 2 + BC 2 = 3a 2 + 2a 2 = 5a 2 (3) Vậy △ SBC vuông góc tại B Diện tích △ SBC là: S △ SBC ​ = 2 1 ​ SB.SC = 2 1 ​ a 3 ​ a 2 ​ = 2 a 2 6 ​ ​ 2.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gọi K là giao điểm của AH và BD. K là giao điểm 2 đường chéo AH và BD của hình vuông ABHD nên K là trung điểm của DB. Do BD ⊥ BC và BD ⊥ AK nên AK//BC. suy ra d[a,(SBC)] = d[K,(SBC)] = d[D,(SBC)] Thể tích hình chóp SDBC là: V SABC = 3 1 ​ SD. S △ D BC ​ = 3 1 ​ SD 2 1 ​ DC.BH = 6 1 ​ a.2a.a= 3 a 3 ​ Nếu lấy đỉnh D đấy △ SBC ta có: V SDBC = 3 1 ​ d(D, (SBC)). S △ SBC ​ d(D, (SBC)) = S △ SBC ​ 3 V S D BC ​ ​ = 2 a 2 6 ​ ​ 3. 3 a 3 ​ ​ = 3 a 6 ​ ​ Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) là 3 a 6 ​ ​