Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA ⊥ (ABCD) có độ dài SA = a. Một mặt phẳng đi qua CD cắt các cạnh SA, SB lần lượt ở M, N. Đặt AM = x. 1) Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, x. 2) Xác định giá trị của x để thể tích hình chóp SMNCD bằng 9 2 ​ lần thể tích hình chóp SABCD.

Giải thích

1. Tứ giác MNCD là hình gì? Ta có: { C D // A B A B ⊂ ( S A B ) ​ Mặt phẳng qua CD cắt (SAB) theo giao tuyến MN nên MN //AB//CD ⇒ MNCD là hình thang. Ta có: { A B ⊥ S A A B ⊥ A D ​ ⇒ AB ⊥ (SAD) Vì MN//AB nên MN ⊥ (SAD) ⇒ MN ⊥ MD Vậy MNCD là hình thang vuông tại M. Diện tích hình thang MNCD là: S MNCD = 2 1 ​ ( MN + C D ) . M D (1) Do △ SMN ∼ △ S A B nên △ SMN là tam giác vuông cân, do đó: MN = SM = a - x. (2) Trong △ M A D vuông tại A ta có: MD 2 = MA 2 + AD 2 = x 2 + a 2 ⇒ MD = x 2 + a 2 ​ (3) Thế MN và MD ở (2) và (3) vào (1), ta được: S MNCD = 2 1 ​ (a - x + a) x 2 + a 2 ​ S MNCD = 2 1 ​ (2a - x ) x 2 + a 2 ​ 2. Xác định giá trị của x để V SMNCD = 9 2 ​ V SABCD Ta có: V S A C D ​ V SMC D ​ ​ = S A . SC . S D SM . SC . S D ​ = S A SM ​ V SMCD = S A SM ​ . V SACD = a a − x ​ . 6 1 ​ a 3 = 6 a 2 ( a − x ) ​ Tương tự: V S A BC ​ V SMNC ​ ​ = S A . SB . SC SM . SN . SC ​ = S A SM ​ . SB SN ​ V SMNC = S A SM ​ . SB SN ​ . V SABC = ( a a − x ​ ) 2 . 6 1 ​ a 3 = 6 a ( a − x ) 2 ​ suy ra V SMNCD = V SMCD + V SMNC = 6 a 2 ( a − x ) + a ( a − x ) 2 ​ = 6 a ( a − x ) ( 2 a − x ) ​ Theo đề bàita có: 6 a ( a − x ) ( 2 a − x ) ​ = 9 2 ​ . 3 a 3 ​ ⇔ 9x 2 - 27ax + 14a 2 = 0 ⇔ [ x = 3 7 ​ a ( l o ạ i v ı ˋ x < a ) x = 3 2 ​ a ​ Vậy giá trị của x cần tìm là x = 3 2 ​ a