Câu hỏi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD lần lượt tại K. Giả sử hình chóp S.ABCD có thể tích V. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích tứ diện S.AMNK.

R. Robo.Ctvx27

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt x = S SM ; y = SD SN Ta đặt V 1 = V S . A MN K , thì V 1 = V S . AMK + V S . ANK ( 1 ) Rõ ràng ta có: V S . ABC V S . AMK = SB SM SC SK ( 2 ) Do V S . ABC = 2 1 V S . ABCD = 2 V v a ˋ SC SK = 2 1 Nên từ (2) suy ra: V S . AMK = 4 xV ( 3 ) Tương tự ta có: V S . ANK = 4 yV ( 4 ) Từ (1) (3) (4) suy ra: V 1 = 4 V ( x + y ) ( 5 ) Mặt khác lại có: V 1 = V S . AMN + V S . MNK ( 6 ) Hoàn toàn tương tự ta có: V S . A MN = 2 x y và V S . MN K = 4 x y V Nên từ (6) có: V 1 = 4 3 x y V ( 7 ) Bây giờ từ (5) (7) có: x + y = 3 x y ⇒ y = 3 x − 1 x ( 8 ) Do x > 0, y > 0 nên từ (8) suy ra: x > 3 1 Vì y = S D SN ≤ 1 ⇒ 3 x − 1 x ≤ 1 ⇒ x ≥ 2 1 . Từ đó 2 1 ≤ x ≤ 1 Thay (8) vào (7) và có V 1 = 4 V ( 3 x . 3 x − 1 x ) = 4 ( 3 x − 1 ) 3 x 2 V ( 9 ) Xét hàm số: f ( x ) = 4 ( 3 x − 1 ) 3 x 2 với 2 1 ≤ x ≤ 1 f ′ ( x ) = 4 ( 3 x − 1 ) 2 3 x ( 3 x − 2 ) và có bảng biến thiên sau: Từ đó có: 2 1 ≤ x ≤ 1 max f ( x ) = max { f ( 2 1 ) ; f ( 1 ) } = max { 8 3 ; 8 3 } = 8 3 ; 2 1 ≤ x ≤ 1 min f ( x ) = f ( 3 2 ) = 3 1 Vậy maxV S . AMNK = 8 3 V ⇔ SM = 3 2 SB (ứng với x = 3 2 ) minV S . AMNK = 3 V ⇔ M ≡ B

Đặt $x = \frac{SM}{S}; y = \frac{SN}{SD}$
Ta đặt $V_{1} = V_{S . A MN K}$ , thì $V_{1} = V_{S . AMK} + V_{S . ANK} (1)$
Rõ ràng ta có: $\frac{V _{S . AMK}}{V _{S . ABC}} = \frac{SM}{SB} \frac{SK}{SC} (2)$
Do $V_{S . ABC} = \frac{1}{2} V_{S . ABCD} = \frac{V}{2} v \overset{a}{ˋ} \frac{SK}{SC} = \frac{1}{2}$
Nên từ (2) suy ra: $V_{S . AMK} = \frac{xV}{4} (3)$
Tương tự ta có: $V_{S . ANK} = \frac{yV}{4} (4)$
Từ (1) (3) (4) suy ra: $V_{1} = \frac{V}{4} (x + y) (5)$
Mặt khác lại có: $V_{1} = V_{S . AMN} + V_{S . MNK} (6)$
Hoàn toàn tương tự ta có: $V_{S . A MN} = \frac{x y}{2}$ và $V_{S . MN K} = \frac{x y V}{4}$
Nên từ (6) có: $V_{1} = \frac{3 x y V}{4} (7)$
Bây giờ từ (5) (7) có: $x + y = 3 x y \Rightarrow y = \frac{x}{3 x - 1} (8)$
Do x > 0, y > 0 nên từ (8) suy ra: $x > \frac{1}{3}$
Vì $y = \frac{SN}{S D} \leq 1 \Rightarrow \frac{x}{3 x - 1} \leq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$ . Từ đó $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$
Thay (8) vào (7) và có
$V_{1} = \frac{V}{4} (3 x . \frac{x}{3 x - 1}) = \frac{3 x ^{2}}{4 ( 3 x - 1 )} V (9)$
Xét hàm số: $f (x) = \frac{3 x ^{2}}{4 ( 3 x - 1 )}$ với $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$
$f^{'} (x) = \frac{3 x ( 3 x - 2 )}{4 ( 3 x - 1 ) ^{2}}$ và có bảng biến thiên sau:

Từ đó có: $\frac{1}{2} \leq x \leq 1 max f (x) = max {f (\frac{1}{2}); f (1)} = max {\frac{3}{8}; \frac{3}{8}} = \frac{3}{8};$
$\frac{1}{2} \leq x \leq 1 min f (x) = f (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$
Vậy $maxV_{S . AMNK} = \frac{3 V}{8} \Leftrightarrow SM = \frac{2}{3} SB$ (ứng với $x = \frac{2}{3}$ )
$minV_{S . AMNK} = \frac{V}{3} \Leftrightarrow M \equiv B$

Câu hỏi tương tự

Hình chóp S.ABC co đáy ABC là một tam giác cân, AB = AC = a, mặt bên SBC vuông góc với đáy, cho biết SA = SB = a. 1. CMR SBC là một tam giác vuông. 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại ...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a , AD = a 2 , SA =a và SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; K = (BM) giao với AC Chứng minh (SAC) vuông góc với (SMB...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi D, E là trung điểm của AB, BC. Nối A' với E, C' với D. Góc tạo bởi A'E và C'D bằng 3 π . Tính thể tích của khối lăng trụ, biết cạnh đáy của tam giác đá...

Xác nhận câu trả lời

Một khối gỗ hình lập phưong có cạnh 7m. Hỏi khối gỗ đó cân nặng bao nhiêu tần (biết 1dm 3 =2kg ).

Xác nhận câu trả lời

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B'C, C'D'. Mặt phẳng (AMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện