Câu hỏi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Đặt V 1 = V S . A M K N , V = V S . A BC D . Tìm S = ma x V V 1 + min V V 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Đặt $V_{1} = V_{S . A M K N}$ , $V = V_{S . A BC D}$ . Tìm $S = ma x \frac{V _{1}}{V} + min \frac{V _{1}}{V}$

$S = \frac{1}{2}$
$S = \frac{1}{4}$
$S = \frac{17}{24}$
$S = \frac{3}{4}$

R. Robo.Ctvx42

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt x = SB SM ; y = S D SN . Tính V V 1 theo x và y Ta có V S . A BC V S . A M K = SB SM . SC S K = 2 1 x ⇒ V S . A M K = 4 x V Tương tự ta có V S . A N K = 4 y V Suy ra V V 1 = 4 x + y ( 1 ) Lại có V 1 = V S . A MN + V S . MN K v a ˋ V S . A BC = V S . A D C = 2 1 V Mà V S . A B D V S . A MN = SB SM . S D SN = x y ⇒ V S . A MN = 2 x y V V S . B D C V S . MN K = SB SM . S D SN . SC S K = 2 x y ⇒ V S . MN K = 4 x y V Suy ra V V 1 = 4 3 x y ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra y = 3 x − 1 x Do x > 0; y > 0 nên x > 3 1 Vì y ≤ 1 ⇒ 3 x − 1 x ≤ 1 ⇒ x ≥ 2 1 . Vậy ta có x ∈ [ 2 1 ; 1 ] Xét hàm số f(x) = V V 1 = 4 3 x y = 4 ( 3 x − 1 ) 3 x 2 với x ∈ [ 2 1 ; 1 ] Có f ′ ( x ) = 4 ( 3 x − 1 ) 2 3 x ( 3 x − 2 ) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra min V V 1 = 3 1 ; ma x V V 1 = 8 3 ⇒ S = 3 1 + 8 3 = 24 17

Đặt $x = \frac{SM}{SB}; y = \frac{SN}{S D}$ . Tính $\frac{V _{1}}{V}$ theo x và y

Ta có $\frac{V _{S . A M K}}{V _{S . A BC}} = \frac{SM}{SB} . \frac{S K}{SC} = \frac{1}{2} x \Rightarrow V_{S . A M K} = \frac{x}{4} V$

Tương tự ta có $V_{S . A N K} = \frac{y}{4} V$

Suy ra $\frac{V _{1}}{V} = \frac{x + y}{4} (1)$

Lại có $V_{1} = V_{S . A MN} + V_{S . MN K} v \overset{a}{ˋ} V_{S . A BC} = V_{S . A D C} = \frac{1}{2} V$

Mà

$\frac{V _{S . A MN}}{V _{S . A B D}} = \frac{SM}{SB} . \frac{SN}{S D} = x y \Rightarrow V_{S . A MN} = \frac{x y}{2} V \frac{V _{S . MN K}}{V _{S . B D C}} = \frac{SM}{SB} . \frac{SN}{S D} . \frac{S K}{SC} = \frac{x y}{2} \Rightarrow V_{S . MN K} = \frac{x y}{4} V$

Suy ra $\frac{V _{1}}{V} = \frac{3 x y}{4} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $y = \frac{x}{3 x - 1}$

Do x > 0; y > 0 nên $x > \frac{1}{3}$

Vì $y \leq 1 \Rightarrow \frac{x}{3 x - 1} \leq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$ . Vậy ta có $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

Xét hàm số f(x) = $\frac{V _{1}}{V} = \frac{3 x y}{4} = \frac{3 x ^{2}}{4 ( 3 x - 1 )}$ với $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

Có $f^{'} (x) = \frac{3 x ( 3 x - 2 )}{4 ( 3 x - 1 ) ^{2}}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $min \frac{V _{1}}{V} = \frac{1}{3}; ma x \frac{V _{1}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow S = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} = \frac{17}{24}$

Câu hỏi tương tự

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f ( x ) = ( x + 3 ) ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) ( x − 3 ) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số g ( x ) = f 2 ( x ) − 9 f ( x ) x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Xác nhận câu trả lời

Giải hệ phương trình { x 2 + 1 + y ( x + y ) = 4 y ( x 2 + 1 ) ( x + y − 2 ) = y ( x , y ∈ R )

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S 1 ) có tâm I(2; 1; 1) bán kính bằng 4 và mặt cầu (S 2 ) có tâm J(2; 1; 5) bán kính 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S 1 ), (S 2 ). Đặt M, m...

Xác nhận câu trả lời

Cho khối tứ diện ABCD. Nếu A B = a ; A C = b ; A D = c .Gọi M là trung điểm của BC thì:

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG