Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AD=2CD Biết hai mặt (SAC),(SBD) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn BD=6 góc giữa (SCD) và mặt đáy bằng 60 Hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của SA, SB Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng

Giải thích

Gọi O là giao điểm của AC và BD;E là trung điểm của CD ⎩ ⎨ ⎧ ​ ( S A C ) ⊥ ( A BC D ) ( SB D ) ⊥ ( A BC D ) ( S A C ) ∩ ( SB D ) = SO ​ ⇒ SO ⊥ ( A BC D ) Ta có { OE ⊥ C D SO ⊥ C D ​ ⇒ C D ⊥ ( SOE ) ⇒ (SCD);(ABCD)=SEO=60 Đặt AD=2CD=2x B D 2 = A B 2 + A D 2 = 5 x 2 ⇔ 5 x 2 = 36 ⇒ x = 5 6 5 ​ ​ ⇒ A D = 5 12 5 ​ ​ ; C D = 5 6 5 ​ ​ ⇒ S A BC D ​ = 5 72 ​ OE= 2 A D ​ = 5 6 5 ​ ​ Trong tam giác vuông SOE có SO=OE.tan60 = 5 6 5 ​ ​ ⇒ V S . A BC D ​ = 3 1 ​ . SO . S A BC D ​ = 25 144 15 ​ ​ V S . A BC D ​ = V S . MC D ​ + V S . MNC ​ V S . A C D ​ V S . A BC D ​ ​ = S A SM ​ = 2 1 ​ ; V S . A BC ​ V S . MNC ​ ​ = S A SM ​ . SB SN ​ = 4 1 ​ ⇒ V S . MNC ​ = 4 3 ​ . V S . A BC ​ = 8 3 ​ V S . A BC D ​ V A BC D MN ​ = V S . A BC D ​ − V S . MNC ​ = 8 5 ​ . V S . A BC D ​ = 5 18 5 ​ ​