Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết S A = A B = BC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng 3 π . Thể tích khối chóp là:

Giải thích

Gọi O là trung điểm của AC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. Gọi I, M là trung điểm của SC, SA. Ta có IO là đường trung bình của tam giác SAC ⇒ I O // S A Mà S A ⊥ ( A BC ) ⇒ I O ⊥ ( A BC ) ⇒ I O là trực của (ABC) ⇒ I A = I B = I C Lại có IM là đường trung bình của tam giác SAC nên I M // A C ⇒ I M ⊥ S A ⇒ IM là trung trực của SA, do đó I S = I A ⇒ I A = I B = I C = I S ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC ⇒ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là R = 2 1 ​ SC Ta lại có 4 π R 2 = 3 π ⇔ R = 2 3 ​ ​ ⇒ SC = 3 ​ Đặt S A = A B = BC = x , ta có tam giác SAB vuông cân tại A nên SB = x 2 ​ Ta có: { BC ⊥ A B BC ⊥ S A ​ ⇒ BC ⊥ ( S A B ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ △ SBC vuông tại B ⇒ S B 2 + B C 2 = S C 2 ⇒ 2 x 2 + x 2 = 3 ⇔ x = 1 Vậy thể tích khối chóp là V = 3 1 ​ S A . S △ A BC ​ = 3 1 ​ S A . 2 1 ​ A B . BC = 6 1 ​ x 3 = 6 1 ​