Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có A B = a ; A C = a 2 ​ ; C A B = 13 5 ∘ ,tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 0. Tính thểtích khối chóp S.ABC .

Giải thích

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC). { A B ⊥ SB A B ⊥ S D ​ ⇒ A B ⊥ ( SB D ) ⇒ A B ⊥ B D { A C ⊥ S A A C ⊥ S D ​ ⇒ A C ⊥ ( S A D ) ⇒ A C ⊥ A D Tam giác ABC có C A B = 13 5 ∘ ⇒ B A D = 4 5 ∘ Tam giác ABD vuông tại B có B A D = 4 5 ∘ suy ra tam giác ABD vuông cân và AD = a 2 ​ Từ đó có tam giác ACD vuông cân tại A ⇒ tứ giác ABDC là hình thang vuông tại B và D Trong mặt phẳng ( SB D ) , hạ DH ⊥ SB ( H ∈ SB ) . Dễ chứng minh DH ⊥ ( S A B ) Trong mặt phẳng ( S A D ) , hạ DK ⊥ S A ( K ∈ S A ) . Dễ chứng minh DK ⊥ ( S A C ) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) ta có: α = ( DH , DK ​ ) = HDK = 3 0 ∘ do tam giác DHKvuông tại H Đặt SD = x , ( x > 0 ) Tam giác DHK vuông tại H có cos ( HDK ) = DK HD ​ ⇒ 2 3 ​ ​ = a 2 + x 2 ​ a x ​ . 2 ​ . a x 2 a 2 + x 2 ​ ​ ⇔ 6 ​ . a 2 + x 2 ​ = 2 2 a 2 + x 2 ​ ⇔ 6 a 2 + 6 x 2 = 8 a 2 + 4 x 2 ⇔ x = a V S . A BC ​ = 6 1 ​ . S D . A B . A C . sin ( B A C ) = 6 a 3 ​ Vậy thể tích khối S.ABC bằng 6 a 3 ​