Câu hỏi

Cho hình chóp S.ABC,gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N. Gọi V 1 là thể tích tứ diện SAMN và V là thể tích của tứ diện SABC.Giá trị lớn nhất tỷ số V V 1 bằng

Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N. Gọi $V_{1}$ là thể tích tứ diện SAMN và V là thể tích của tứ diện SABC.Giá trị lớn nhất tỷ số $\frac{V _{1}}{V}$ bằng

$\frac{4}{9}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{1}{2}$

R. Robo.Ctvx7

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi E là trung điểm BC. Đặt SB SM = a , SC SN = b ( 0 ≤ a , b ≤ 1 ) Khi đó, ta có V V 1 = SB . SC SM . SN = a . b và S △ SBC S △ SMN = S △ SBC S △ SMG + S △ SNG = 2 S △ SBE S △ SMG + 2 S △ SCE S △ SNG = 2 SB . SE SM . SG + 2 SC . SE SN . SG = 3 1 ( a + b ) ( 1 ) Mặt khác ta có S △ SBC S △ SMN = S A . SB SM . SN = a . b ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra a . b = 3 1 ( a + b ) ⇔ ( 3 a − 1 ) b = a ⇔ b = 3 a − 1 a ( a  = 3 1 ) Vậy V V 1 = a . b = 3 a − 1 a 2 = f ( a ) Từ { 0 ≤ a , b ≤ 1 a + b = 3 ab ⇒ 2 1 ≤ a ≤ 1 Xét hàm số f ( a ) = 3 a − 1 a 2 v ớ i 2 1 ≤ a ≤ 1 Ta tìm được [ 2 1 ; 1 ] ma x f ( a ) = 2 1 khi a = 2 1 hoặc a =1 ; [ 2 1 ; 1 ] min f ( a ) = 9 4 khi a = 3 2 Vậy min V V 1 = 9 4 v a ˋ ma x V V 1 = 2 1 .

Gọi E là trung điểm BC.

Đặt $\frac{SM}{SB} = a, \frac{SN}{SC} = b (0 \leq a, b \leq 1)$

Khi đó, ta có $\frac{V _{1}}{V} = \frac{SM . SN}{SB . SC} = a . b$

và

$\frac{S _{△ SMN}}{S _{△ SBC}} = \frac{S _{△ SMG} + S _{△ SNG}}{S _{△ SBC}} = \frac{S _{△ SMG}}{2 S _{△ SBE}} + \frac{S _{△ SNG}}{2 S _{△ SCE}} = \frac{SM . SG}{2 SB . SE} + \frac{SN . SG}{2 SC . SE} = \frac{1}{3} (a + b) (1)$

Mặt khác ta có

$\frac{S _{△ SMN}}{S _{△ SBC}} = \frac{SM . SN}{S A . SB} = a . b (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $a . b = \frac{1}{3} (a + b) \Leftrightarrow (3 a - 1) b = a \Leftrightarrow b = \frac{a}{3 a - 1} (a \neq = \frac{1}{3})$

Vậy $\frac{V _{1}}{V} = a . b = \frac{a ^{2}}{3 a - 1} = f (a)$

Từ ${0 \leq a, b \leq 1 a + b = 3 ab \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a \leq 1$

Xét hàm số $f (a) = \frac{a ^{2}}{3 a - 1} v ớ i \frac{1}{2} \leq a \leq 1$

Ta tìm được $[\frac{1}{2}; 1] ma x f (a) = \frac{1}{2}$ khi $a = \frac{1}{2}$ hoặc a =1 ; $[\frac{1}{2}; 1] min f (a) = \frac{4}{9}$ khi $a = \frac{2}{3}$

Vậy $min \frac{V _{1}}{V} = \frac{4}{9} v \overset{a}{ˋ} ma x \frac{V _{1}}{V} = \frac{1}{2} .$

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số y= − x 3 − m x 2 + ( 4 m + 9 ) x + 5 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến R ?

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = x 3 − 3 x có đồ thị hàm số là ( C ) .Tìm số giao điểm của ( C ) và trục hoành.

Xác nhận câu trả lời

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, cạnh bên AA' = 3a và đường chéo A'C = 5a. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Xác nhận câu trả lời

C ó bao nhi ê u gi á tr ị nguy ê n d ươ ng c ủ a tham s ố m để đồ th ị h à m s ố y = x 4 − 4 x 2 + m − 2 c ắ t tr ụ c ho à nh t ạ i b ố n đ i ể m ph â n bi ệ t ?

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực tiểu của hàm số là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG