Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn B I = 3 I H và góc giữa hai mặt phẳng (SAB); (SBC) bằng 6 0 ∘ . Tính thể tích khối chóp S.ABC đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SI theo a.

Giải thích

Từ giả thiết của bài toán ta có { B H ⊥ A C S H ⊥ A C ​ ⇒ A C ⊥ ( SB H ) ⇒ A C ⊥ SB Kẻ I J ⊥ SB ⇒ { A J ⊥ SB C J ⊥ SB ​ ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCB) bằng góc giữa hai đường thẳng AJ và CJ. Dễ thấy △ A I J là tam giác cân tại J, kết hợp với giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 6 0 ∘ ta có hai trường hợp sau: TH1: A J C = 6 0 ∘ ⇒ A J I = 3 0 ∘ Ta có: I J = A I . tan 6 0 ∘ = 2 a 6 ​ ​ ⇒ △ B I J vuông tại J có B I = 2 a 2 ​ ​ < I J (loại) TH2: A J C = 12 0 ∘ ⇒ A J I = 6 0 ∘ Ta có: I J = A I . tan 3 0 ∘ = 6 ​ a ​ ⇒ △ B I J vuông tại J có B J = B I 2 − I J 2 ​ = 3 a 3 ​ ​ △ B I J //△ BS H ⇒ S H = B J I J . B H ​ . Mặt khác I B = 2 1 ​ A C = 2 a 2 ​ ​ ⇒ B H = 3 2 a 2 ​ ​ ta có: S H = 3 2 a ​ ⇒ V S . A BC ​ = 3 1 ​ S H . S A BC ​ = 9 a 3 ​ (đvtt) Gọi E là trung điểm của BC ⇒ I E // A B . Do vậy ta có d ( A B , S I ) = d ( A B , ( S I E ) = d ( B , ( S I E )) Do B I = 3 I H ⇒ d ( B , ( S I E )) = 3 d ( H , ( S I E )) Kẻ HK ⊥ I E , K ∈ I E Mặt khác ta lại có: S H ⊥ ( A BC ) ⇒ S H ⊥ I E ⇒ I E ⊥ ( S HK ) ⇒ ( S I E ) ⊥ ( S HK ) Kẻ H F ⊥ S K ⇒ H F ⊥ ( S I E ) ⇒ ( H , ( S I E )) = H F ⇒ d ( A B , S I ) = 3 H F Xét tam giác vuông SHK ta có: H F 2 1 ​ = H K 2 1 ​ + H S 2 1 ​ ⇒ H F = S H 2 + H K 2 ​ S H . HK ​ Mặt khác BE HK ​ = I B I H ​ = 3 1 ​ ⇒ HK = 3 1 ​ BE = 6 a ​ ⇒ H F = 51 2 a 17 ​ ​ Vậy d ( A B , S I ) = 3 H F = 17 2 a 17 ​ ​