Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , S A ⊥ ( A BC ) , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 6 0 ∘ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60∘. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
7a3
2a2
5a15
7a7
EE
E. Elsa
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Chọn C
Trong mp (ABC) kẻ hình bình hành ABCD , A E ⊥ B D ; trong mp (SAE) kẻ A H ⊥ SE
Theo giả thiết:
{ S A ⊥ ( A BC ) A E ⊥ B D ⇒ S A ⊥ B D ⇒ B D ⊥ ( S A E )
⇔ B D ⊥ A H mà A H ⊥ SE nên A H ⊥ ( SB D )
Ta lại có B D // A C ⇒ A C // ( SB D )
⇒ d ( A C , SB ) = d ( A C , ( SB D ) ) = d ( A , ( SB D ) ) = d ( A , ( A B D ) ) = A H
Mặt khác: Vì S A ⊥ ( A BC ) nên ( S A , ( A BC ) ) = SB A = 6 0 ∘
S A = A B . tan 6 0 ∘ = a 3
Vì ABCD là hình bình hành nên A B D = 18 0 ∘ − B A C = 12 0 ∘ do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc A BE = 6 0 ∘
⇒ A E = A B . sin 6 0 ∘ = 2 a 3
Tam giác SAE vuông có:
A H 2 1 = S A 2 1 + A E 2 1 = ( a 3 ) 2 1 + ( 2 a 3 ) 2 1 = 3 a 2 5 ⇒ A H 2 = 5 3 a 2 ⇒ A H = 5 a 15
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là 5 a 15
Chọn C
Trong mp (ABC) kẻ hình bình hành ABCD, AE⊥BD; trong mp (SAE) kẻ AH⊥SE
Theo giả thiết:
{SA⊥(ABC)AE⊥BD⇒SA⊥BD⇒BD⊥(SAE)
⇔BD⊥AH mà AH⊥SE nên AH⊥(SBD)
Ta lại có BD//AC⇒AC//(SBD)
⇒d(AC,SB)=d(AC,(SBD))=d(A,(SBD))=d(A,(ABD))=AH
Mặt khác: Vì SA⊥(ABC) nên (SA,(ABC))=SBA=60∘
SA=AB.tan60∘=a3
Vì ABCD là hình bình hành nên ABD=180∘−BAC=120∘ do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc ABE=60∘