Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , S A ⊥ ( A BC ) , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 6 0 ∘ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

Giải thích

Chọn C Trong mp (ABC) kẻ hình bình hành ABCD , A E ⊥ B D ; trong mp (SAE) kẻ A H ⊥ SE Theo giả thiết: { S A ⊥ ( A BC ) A E ⊥ B D ​ ⇒ S A ⊥ B D ⇒ B D ⊥ ( S A E ) ⇔ B D ⊥ A H mà A H ⊥ SE nên A H ⊥ ( SB D ) Ta lại có B D // A C ⇒ A C // ( SB D ) ⇒ d ( A C , SB ) = d ( A C , ( SB D ) ) = d ( A , ( SB D ) ) = d ( A , ( A B D ) ) = A H Mặt khác: Vì S A ⊥ ( A BC ) nên ( S A , ( A BC ) ​ ) = SB A = 6 0 ∘ S A = A B . tan 6 0 ∘ = a 3 ​ Vì ABCD là hình bình hành nên A B D = 18 0 ∘ − B A C = 12 0 ∘ do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc A BE = 6 0 ∘ ⇒ A E = A B . sin 6 0 ∘ = 2 a 3 ​ ​ Tam giác SAE vuông có: A H 2 1 ​ = S A 2 1 ​ + A E 2 1 ​ = ( a 3 ​ ) 2 1 ​ + ( 2 a 3 ​ ​ ) 2 1 ​ = 3 a 2 5 ​ ⇒ A H 2 = 5 3 a 2 ​ ⇒ A H = 5 a 15 ​ ​ Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là 5 a 15 ​ ​