Câu hỏi

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , S A ⊥ ( A BC ) , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 6 0 ∘ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $S A ⊥ (A BC)$ , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng $6 0^{\circ}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

$\frac{a 3}{7}$
$\frac{a 2}{2}$
$\frac{a 15}{5}$
$\frac{a 7}{7}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn C Trong mp (ABC) kẻ hình bình hành ABCD , A E ⊥ B D ; trong mp (SAE) kẻ A H ⊥ SE Theo giả thiết: { S A ⊥ ( A BC ) A E ⊥ B D ⇒ S A ⊥ B D ⇒ B D ⊥ ( S A E ) ⇔ B D ⊥ A H mà A H ⊥ SE nên A H ⊥ ( SB D ) Ta lại có B D // A C ⇒ A C // ( SB D ) ⇒ d ( A C , SB ) = d ( A C , ( SB D ) ) = d ( A , ( SB D ) ) = d ( A , ( A B D ) ) = A H Mặt khác: Vì S A ⊥ ( A BC ) nên ( S A , ( A BC ) ) = SB A = 6 0 ∘ S A = A B . tan 6 0 ∘ = a 3 Vì ABCD là hình bình hành nên A B D = 18 0 ∘ − B A C = 12 0 ∘ do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc A BE = 6 0 ∘ ⇒ A E = A B . sin 6 0 ∘ = 2 a 3 Tam giác SAE vuông có: A H 2 1 = S A 2 1 + A E 2 1 = ( a 3 ) 2 1 + ( 2 a 3 ) 2 1 = 3 a 2 5 ⇒ A H 2 = 5 3 a 2 ⇒ A H = 5 a 15 Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là 5 a 15

Chọn C

Trong mp (ABC) kẻ hình bình hành ABCD, $A E ⊥ B D$ ; trong mp (SAE) kẻ $A H ⊥ SE$

Theo giả thiết:

${S A ⊥ (A BC) A E ⊥ B D \Rightarrow S A ⊥ B D \Rightarrow B D ⊥ (S A E)$

$\Leftrightarrow B D ⊥ A H$ mà $A H ⊥ SE$ nên $A H ⊥ (SB D)$

Ta lại có $B D // A C \Rightarrow A C // (SB D)$

$\Rightarrow d (A C, SB) = d (A C, (SB D)) = d (A, (SB D)) = d (A, (A B D)) = A H$

Mặt khác: Vì $S A ⊥ (A BC)$ nên $(S A, (A BC)) = SB A = 6 0^{\circ}$

$S A = A B . tan 6 0^{\circ} = a 3$

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B D = 18 0^{\circ} - B A C = 12 0^{\circ}$ do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc $A BE = 6 0^{\circ}$

$\Rightarrow A E = A B . sin 6 0^{\circ} = \frac{a 3}{2}$

Tam giác SAE vuông có:

$\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{S A ^{2}} + \frac{1}{A E ^{2}} = \frac{1}{( a 3 ) ^{2}} + \frac{1}{( \frac{a 3}{2} ) ^{2}} = \frac{5}{3 a ^{2}} \Rightarrow A H^{2} = \frac{3 a ^{2}}{5} \Rightarrow A H = \frac{a 15}{5}$