Câu hỏi

Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc α . 1. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a và α . 2.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nộitiếp hình chóp theo a và α . 3. Tìm α để tâmmặt cầu ngoại tiếp và nội tiếphình chóp trùng nhau.

Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc $α$ .

1. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a và $α$ .

2. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp theo a và $α$ .

3. Tìm $α$ để tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp trùng nhau.

R. Roboctvx95

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

1. Gọi H là tâm lục giác đều ABCDEF thì SH là đường cao của hình chóp. Vì S.ABCDEF là hình chóp đều nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABCDEF. Gọi K là trung điểm của SA, dựng mặt trung trực của SA cắt SH tại O, ta được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.ABCDEF. Gọi J làtrung điểm của AB ⇒ S J ⊥ A B , S J H = α Hai tam giác vuông SHA, SKO đồng dạng cho: S A SO = S H S K ⇒ SO = S H S A . S K = 2 S H S A 2 Từ tam giác SHJ vuông tại H ta có S H = S J tan α = 2 a 3 tan α Tam giác vuông SHA vuông tại H cho: S A 2 = S H 2 + H A 2 = 4 3 a 2 tan 2 α + a 2 = 4 3 a 2 ( 3 tan 2 α + 4 ) ⇒ SO = 2. 2 a 3 tan α 4 a 2 ( 3 tan 2 α + 4 ) = 12 tan α a 3 ( 3 tan 2 α + 4 ) Vậybán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = 12 tan α a 3 ( 3 tan 2 α + 4 ) 2. Nhận thấy S J H là góc phẳng tạo bởi hai mặt (SAB), (ABCDEF). Trong tam giác SHJ kẻ phân giác S J H cắt SH tại I. Gọi P là hình chiếu vuông góc của I trên SJ. Ta có I P ⊥ S J , ngoài ra A B ⊥ S H , A B ⊥ H J nên A B ⊥ ( S H J ) ⇒ A B ⊥ I P Như thế I P ⊥ ( S A B ) , tức độ dài đoạn IK là khoảng cách từ I đến mp(SAB). Mặt khác I nằm trên phân giác của S J H nên IH = HP. Do đó I là điểm cách đều hai mặt (ABCDEF) và (SAB). Suy ra I cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Vậy I là tâmmặt cầu nộitiếp hình chóp S.ABCDEF. Từ tam giác IHJ vuông tại H ta có I H = H J tan I J H = 2 a 3 tan 2 α 3. Tâmmặt cầu ngoại tiếp và nội tiếphình chóp trùng nhau khi và chỉ khi R + r = 12 tan α a 3 ( 3 tan 2 α + 4 ) + 2 a 3 tan 2 α = 2 a 3 tan α ⇔ 6 tan α 3 tan 2 α + 4 + tan 2 α = tan α ⇔ 3 tan 2 α − 6 tan α . tan 2 α − 4 = 0 Đặt t = tan 2 α ta được phương trình 3 ( 1 − t 2 2 t ) 2 − 6 1 − t 2 2 t − 4 = 0 hay 2 t 4 + 2 t 2 − 1 = 0 , giải được t 2 = 2 3 − 1 ⇔ t = 2 3 − 1 ( t > 0 ) Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếphình chóp trùng nhau khi góc α được xác định bởi tan 2 α = 2 3 − 1

1. Gọi H là tâm lục giác đều ABCDEF thì SH là đường cao của hình chóp. Vì S.ABCDEF là hình chóp đều nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABCDEF.

Gọi K là trung điểm của SA, dựng mặt trung trực của SA cắt SH tại O, ta được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDEF.

Gọi J là trung điểm của AB $\Rightarrow S J ⊥ A B, S J H = α$

Hai tam giác vuông SHA, SKO đồng dạng cho:

$\frac{SO}{S A} = \frac{S K}{S H} \Rightarrow SO = \frac{S A . S K}{S H} = \frac{S A ^{2}}{2 S H}$

Từ tam giác SHJ vuông tại H ta có $S H = S J tan α = \frac{a 3}{2} tan α$

Tam giác vuông SHA vuông tại H cho: $S A^{2} = S H^{2} + H A^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} tan^{2} α + a^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} (3 tan^{2} α + 4)$

$\Rightarrow SO = \frac{\frac{a ^{2}}{4} ( 3 tan ^{2} α + 4 )}{2. \frac{a 3}{2} tan α} = \frac{a 3 ( 3 tan ^{2} α + 4 )}{12 tan α}$

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R = \frac{a 3 ( 3 tan ^{2} α + 4 )}{12 tan α}$

2. Nhận thấy $S J H$ là góc phẳng tạo bởi hai mặt (SAB), (ABCDEF). Trong tam giác SHJ kẻ phân giác $S J H$ cắt SH tại I. Gọi P là hình chiếu vuông góc của I trên SJ.

Ta có $I P ⊥ S J$ , ngoài ra $A B ⊥ S H, A B ⊥ H J$ nên $A B ⊥ (S H J) \Rightarrow A B ⊥ I P$

Như thế $I P ⊥ (S A B)$ , tức độ dài đoạn IK là khoảng cách từ I đến mp(SAB).

Mặt khác I nằm trên phân giác của $S J H$ nên IH = HP. Do đó I là điểm cách đều hai mặt (ABCDEF) và (SAB). Suy ra I cách đều tất cả các mặt của hình chóp.

Vậy I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCDEF.

Từ tam giác IHJ vuông tại H ta có $I H = H J tan I J H = \frac{a 3}{2} tan \frac{α}{2}$

3. Tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp trùng nhau khi và chỉ khi

$R + r = \frac{a 3 ( 3 tan ^{2} α + 4 )}{12 tan α} + \frac{a 3}{2} tan \frac{α}{2} = \frac{a 3}{2} tan α \Leftrightarrow \frac{3 tan ^{2} α + 4}{6 tan α} + tan \frac{α}{2} = tan α \Leftrightarrow 3 tan^{2} α - 6 tan α . tan \frac{α}{2} - 4 = 0$

Đặt $t = tan \frac{α}{2}$ ta được phương trình $3 (\frac{2 t}{1 - t ^{2}})^{2} - 6 \frac{2 t}{1 - t ^{2}} - 4 = 0$

hay $2 t^{4} + 2 t^{2} - 1 = 0$ , giải được $t^{2} = \frac{3 - 1}{2} \Leftrightarrow t = \frac{3 - 1}{2} (t > 0)$

Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp trùng nhau khi góc $α$ được xác định bởi $tan \frac{α}{2} = \frac{3 - 1}{2}$

Câu hỏi tương tự

Thể tích khối chóp có chiều cao h = 2 a và diện tích đáy B = 6 a 2 bằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, A B = a , A D = a 2 , đường thẳng SA vuông góc với mp(ABCD). Góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 60^0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Xác nhận câu trả lời

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:

Xác nhận câu trả lời

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 3a là

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG