Cho hình chóp S . A BC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng ( A BC D ) và S A = 3 a . Mặtphẳng ( P ) chứa cạnh BC và cắt hình chóp S . A BC D theo thiết diện là một tứgiác có diện tích 3 2 5 ​ a 2 ​ . Tính khoảng cách h giữa đường thẳngAD và mặt phẳng ( P ) .

Giải thích

Chọn B Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ( P ) với S A , S D ⇒ MN // A D ; kẻ A H ⊥ BM tại H A D ⊥ S A ; A D ⊥ A B ⇒ A D ⊥ ( S A B ) ⇒ MN ⊥ ( S A B ) ⇒ MN ⊥ MB và MN ⊥ A H * MN ⊥ MB ⇒ Thiết diện làhình thang vuông BMNC có diện tích là 2 MB ​ . ( MN + BC ) * A H ⊥ MN , A H ⊥ BM , MN // A D ⇒ A H là khoảng cách từ A D đến ( P ) ⇒ A H = h Đặt A M = x ( 0 < x < 3 a ) ⇒ SM = 3 a − x . Ta có: A D MN ​ = S A SM ​ (do MN // A D ). ⇒ a MN ​ = 3 a 3 a − x ​ ⇒ MN = 3 3 a − x ​ , mà MB = A B 2 + A M 2 ​ = a 2 + x 2 ​ Diện tích thiết diện là 3 2 5 ​ a 2 ​ ⇒ 2 a 2 + x 2 ​ ​ . ( 3 3 a − x ​ + a ) = 3 2 5 ​ a 2 ​ ⇔ a 2 + x 2 ​ . ( 6 a − x ) = 4 5 ​ a 2 ⇔ ( a 2 + x 2 ) ( 36 a 2 − 12 a x + x 2 ) = 80 a 4 ⇔ 36 a 4 − 12 a 3 x + a 2 x 2 + 36 a 2 x 2 − 12 a x 3 + x 4 − 80 a 4 = 0 ⇔ x 4 − 12 x 3 x + 37 x 2 a 2 − 12 a x 3 − 44 a 4 = 0 ⇒ x = 2 a ⇒ MB = a 5 ​ ⇒ h = A H = MB A M . A B ​ = a 5 ​ 2 a . a ​ = 5 ​ 2 a ​ = 5 2 5 ​ a ​ Vậy khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( P ) là 5 2 5 ​ a ​ .