Câu hỏi

Cho hình chóp S . A BC có S A = SB = SC = 3 , tam giác A BC vuông cân tại B và A C = 2 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A C và BC . Trên hai cạnh S A , SB lấy các điểm P , Q tương ứng sao cho SP = 1 , SQ = 2. Tính thể tích V của tứ diện MNPQ .

Cho hình chóp $S . A BC$ có $S A = SB = SC = 3,$ tam giác $A BC$ vuông cân tại $B$ và $A C = 22 .$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A C$ và $BC .$ Trên hai cạnh $S A, SB$ lấy các điểm $P, Q$ tương ứng sao cho $SP = 1, SQ = 2.$ Tính thể tích V của tứ diện $MNPQ .$

$V = \frac{7}{18} .$
$V = \frac{34}{12} .$
$V = \frac{3}{12} .$
$V = \frac{34}{144} .$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn A Gọi I là giao điểm của PQ và AB V MNPQ = V I . MPN − V I . QMN = V P . MN I − V Q . MN I . Tính diện tích △ MN I MN = 1 Gọi E là trung điểm SQ ⇒ PE // A B và PE = 3 1 A B Ta có △ PEQ = △ I BQ ( g . c . g ) ⇒ PE = I B ⇒ I B = 3 1 A B = 3 2 . I N 2 = B N 2 + I B 2 = 1 + 9 4 = 9 13 ⇒ I N = 3 13 . Áp dụng định lí cosin cho tam giác IAM có: I M = I A 2 + A M 2 − 2 I A . A M . cos 4 5 ∘ = ( 3 8 ) 2 + ( 2 ) 2 − 2. 3 8 . 2 . 2 2 = 9 34 ⇒ I M = 9 34 . cos MN I = 2. MN . I N M N 2 + I N 2 − M I 2 = 2.1. 3 13 1 + 9 13 − 9 34 = 13 − 2 13 . sin MN I = 1 − cos 2 MN I = 13 3 . S MN I = 2 1 . MN . N I . sin MN I = 2 1 .1. 3 13 . 13 3 = 2 1 . V MNPQ = 3 1 . d ( P ; ( M I N ) ) . S M I N − 3 1 . d ( Q ; ( M I N ) ) . S M I N = 3 1 . 3 2 d ( S ; ( M I N ) ) . S M I N − 3 1 . 3 1 . d ( S ; ( M I N ) ) . S M I N = 3 1 . 3 1 d ( S ; ( M I N ) ) . S M I N = 9 1 d ( S ; ( A BC ) ) . S M I N Vì S A = SB = SC nên hình chiếu của đình S trên mặt phẳng ( A BC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là điểm M. Vậy V MNPQ = 9 1 . 7 . 2 1 = 18 7 .

Chọn A

Gọi I là giao điểm của PQ và AB

$V_{MNPQ} = V_{I . MPN} - V_{I . QMN} = V_{P . MN I} - V_{Q . MN I} .$

Tính diện tích $△ MN I$

$MN = 1$

Gọi E là trung điểm SQ $\Rightarrow PE // A B$ và $PE = \frac{1}{3} A B$

Ta có $△ PEQ = △ I BQ (g . c . g) \Rightarrow PE = I B$

$\Rightarrow I B = \frac{1}{3} A B = \frac{2}{3} .$

$I N^{2} = B N^{2} + I B^{2} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9} \Rightarrow I N = \frac{13}{3} .$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác IAM có:

$I M = I A^{2} + A M^{2} - 2 I A . A M . cos 4 5^{\circ} = (\frac{8}{3})^{2} + (2)^{2} - 2. \frac{8}{3} . 2 . \frac{2}{2} = \frac{34}{9} \Rightarrow I M = \frac{34}{9} . cos MN I = \frac{M N ^{2} + I N ^{2} - M I ^{2}}{2. MN . I N} = \frac{1 + \frac{13}{9} - \frac{34}{9}}{2.1. \frac{13}{3}} = \frac{- 2 13}{13} . sin MN I = 1 - cos^{2} MN I = \frac{3}{13} . S_{MN I} = \frac{1}{2} . MN . N I . sin MN I = \frac{1}{2} .1. \frac{13}{3} . \frac{3}{13} = \frac{1}{2} . V_{MNPQ} = \frac{1}{3} . d (P; (M I N)) . S_{M I N} - \frac{1}{3} . d (Q; (M I N)) . S_{M I N} = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} d (S; (M I N)) . S_{M I N} - \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . d (S; (M I N)) . S_{M I N} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} d (S; (M I N)) . S_{M I N} = \frac{1}{9} d (S; (A BC)) . S_{M I N}$

Vì $S A = SB = SC$ nên hình chiếu của đình S trên mặt phẳng $(A BC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là điểm M.

Vậy $V_{MNPQ} = \frac{1}{9} . 7 . \frac{1}{2} = \frac{7}{18} .$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 1;3;-2) và điểm B( 3;-1;4) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

Xác nhận câu trả lời

Cho hình vuông ABCD cạnh 1, điểm M là trung điểm của CD. Cho hình vuông (tính cả điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng AM ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f (x)liên tục trên đoạn [0;6] thoả mãn ∫ 0 6 f ( x ) dx = 10 và ∫ 2 4 f ( x ) dx = 6 .Tính giá trị của biểu thức P = ∫ 0 2 f ( x ) dx + ∫ 4 6 f ( x ) dx .

Xác nhận câu trả lời

Cho hai khối nón có chung trục SS'=3r. Khối nónthứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm S' bán kính bằng 2r; khối nón thứ hai có đỉnh S', đáy là hình tròn tâm S bán kính bằng r. Tính theo r thể tích p...

Xác nhận câu trả lời

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) : y = 2 3 x 4 + x 2 − 1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 8 y = 0 .

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG