Câu hỏi

Cho hình chóp S . A BC có S A = a , SB = b , SC = c . Một mặt phẳng ( α ) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh S A , SB , SC lần lượt tại A ′ , B ′ , C ′ . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = S A ′ 2 1 + S B ′ 2 1 + S C ′ 2 1 .

Cho hình chóp $S . A BC$ có $S A = a, SB = b, SC = c$ . Một mặt phẳng $(α)$ luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh $S A, SB, SC$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P = \frac{1}{S A ^{'^{2}}} + \frac{1}{S B ^{'^{2}}} + \frac{1}{S C ^{'^{2}}} .$

R. Robo.Ctvx5

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Ta có 3 SG = S A + SB + SC = S A ′ S A S A ′ + S B ′ SB S B ′ + S C ′ SC S C ′ Mà G , A ′ , B ′ , C ′ đồng phẳng nên Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có Đẳng thức xảy ra khi a S A ′ 1 = b S B ′ 1 = c S C ′ 1 kết hợp với S A ′ a + S B ′ b + S C ′ c = 3 ta được S A ′ = 3 a a 2 + b 2 + c 2 , S B ′ = 3 b a 2 + b 2 + c 2 , S C ′ = 3 c a 2 + b 2 + c 2 . Vậy GTNN của S A ′2 1 + S B ′2 1 + S C ′2 1 là a 2 + b 2 + c 2 9

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có

$3 SG = S A + SB + SC = \frac{S A}{S A ^{'}} S A^{'} + \frac{SB}{S B ^{'}} S B^{'} + \frac{SC}{S C ^{'}} S C^{'}$
Mà $G, A^{'}, B^{'}, C^{'}$ đồng phẳng nên $fraction numerator S italic A over denominator S italic A to the power of prime end fraction plus fraction numerator S B over denominator S B to the power of prime end fraction plus fraction numerator S C over denominator S C to the power of prime end fraction equals 3 not stretchy left right double arrow fraction numerator italic a over denominator S italic A to the power of prime end fraction plus fraction numerator italic b over denominator S B to the power of prime end fraction plus fraction numerator italic c over denominator S C to the power of prime end fraction equals 3$
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

$open parentheses fraction numerator 1 over denominator S italic A to the power of prime 2 end exponent end fraction plus fraction numerator 1 over denominator S B to the power of prime 2 end exponent end fraction plus fraction numerator 1 over denominator S C to the power of prime squared end exponent end fraction close parentheses open parentheses italic a squared plus italic b squared plus italic c squared close parentheses greater or equal than open parentheses fraction numerator italic a over denominator S italic A to the power of prime end fraction plus fraction numerator italic b over denominator S B to the power of prime end fraction plus fraction numerator italic c over denominator S C to the power of prime end fraction close parentheses squared$

$not stretchy left right double arrow fraction numerator 1 over denominator S italic A to the power of prime 2 end exponent end fraction plus fraction numerator 1 over denominator S B to the power of prime squared end exponent end fraction plus fraction numerator 1 over denominator S C italic apostrophe squared end fraction greater or equal than fraction numerator 9 over denominator italic a squared plus italic b squared plus italic c squared end fraction$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a S A ^{'}} = \frac{1}{b S B ^{'}} = \frac{1}{c S C ^{'}}$ kết hợp với $\frac{a}{S A ^{'}} + \frac{b}{S B ^{'}} + \frac{c}{S C ^{'}} = 3$ ta được

$S A^{'} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3 a}, S B^{'} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3 b}, S C^{'} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3 c} .$

Vậy GTNN của $\frac{1}{S A ^{'2}} + \frac{1}{S B ^{'2}} + \frac{1}{S C ^{^{'2}}}$ là $\frac{9}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

Xác nhận câu trả lời

Cho đường thẳng d: ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = t z = 2 − t .Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.

Xác nhận câu trả lời

Cho (E): 9 x 2 + 4 y 2 = 1 và (d 1 )mx - ny = 0; (d 2 ) nx + my = 0, với m 2 + n 2  = 0 Tìm điều kiện đối với m, n để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Xác nhận câu trả lời

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):x 2 + y 2 -12x -4y+36=0. Viết phương trình đường tròn (C 1 ) tiếp xúc với hai tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1),B(0;-1;3) và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điể...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện