Cho hình bát diện đều có cạnh a và điểm I nằm trong hình bát diện. Tính tổng khoảng cách từ điểm I đến tất cả các mặt của bát diện.

Giải thích

Chọn A Hình bát diện đều có thể tích bằng thể tích của hai hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, ở đây các cạnh đều bằng a. Gọi V là thể tích khối bát diện đều. Ta có: S A BC D ​ = a 2 , S S A B ​ = 4 a 2 3 ​ ​ . A C = a 2 ​ ⇒ SO = S A 2 − A O 2 ​ = 2 a 2 ​ ​ . ⇒ V = 2 V S . A BC D ​ = 2. 3 1 ​ . 2 a 2 ​ ​ . a 2 = 3 a 3 2 ​ ​ . Do đó tổng khoảng cách từ điểm I đến tất cả các mặt của tứ diện bằng: ∑ ​ d = d 1 ​ + d 2 ​ + d 3 ​ + ... + d 8 ​ = S S A B ​ 3 V I . S A B ​ ​ + S SBC ​ 3 V I . SBC ​ ​ + ... + S SC D ​ 3 V S ′ C D ​ ​ Mà S S A B ​ = S SBC ​ = S SC D ​ = ... = S S ′ C D ​ , V I . S A B ​ + V I . SC D ​ + ... + V I . S ′ C D ​ = V ⇒ ∑ ​ d = S S A B ​ 3 V ​ = 4 a 2 3 ​ ​ 3. 3 a 3 2 ​ ​ ​ = 3 4 a 6 ​ ​ .