Cho hàm f : Z + → Z + thoả mãn các điều kiện sau đây: (i) f ( n + 1 ) > f ( n ) : ∀ n ∈ Z + (ii) f ( f ( n 0 ) = 3 n ; ∀ n ∈ Z + Hãy tính f ( 2003 )

Giải thích

Từ (i) và (ii) ⇒ 1 < f ( 1 ) < f ( f ( 1 )) = 3 ⇒ f ( 1 ) = 2 . Ta có: f(2)=f(f(1))=3.1=3 f ( 3 ) = f ( f ( 2 )) = 3.2 f ( 2.3 ) = f ( f ( 3 )) = 3.3 = 3 2 ​ …. Suy ra (1) f ( 2. 3 n ) = 3 n + 1 ; ∀ n ∈ Z + (2)f ( 3 n ) = 2. 3 n ; ∀ n ∈ Z + Thật vậy giả sử (1); (2) đúng đến thứ n; xt1: f ( 3 n + 1 ) = f ( f ( 2. 3 n ) ) = 3 ( 2. 3 n ) = 2. 3 n + 1 f ( 2. 3 n + 1 ) = f ( f ( 3 n + 1 ) ) = 3. 3 n + 1 = 3 n + 2 ​ Vậy (1), (2) đúng với mọi n. Ta có ( 3 n − 1 ) số nguyên m nằm giữa 3 n và 2. 3 n và do giả thiết (i) f ( n + 1 ) > f ( n ) nên có ( 3 n − 1 ) số nguyên m nằm giữa f ( 3 n ) và f ( 2. 3 n ) suy ra 0 < m < 3 n ⇒ f ( 3 n + m ) = 3 ( 3 n + m ) . Vậy f ( 2. 3 n + m ) = 3 ( 3 n + m ) với 0 < m < 3 n . Suy ra n = 2003 = 2. 3 6 + 545 suy ra f ( 2003 ) = 3 ( 3 6 + 545 ) 3822 .